加速故障時間モデル

生存分析の統計分野において、加速故障時間モデル（AFT モデル）は、一般的に使用されている比例ハザード モデルの代替となるパラメトリックモデルです。比例ハザード モデルでは、共変量の影響がハザードにある定数を乗算するものと想定されますが、AFT モデルでは、共変量の影響が病気のライフ コースをある定数で加速または減速するものと想定されます。StroustrupらによるC. elegans^実験[1]から、AFT モデルが生物学的生存プロセスの正しいモデルであることが示唆される 強力な基礎科学的証拠が得られています。

一般的に、加速故障時間モデルは次のように定義される^[2]。

${\displaystyle \lambda (t|\theta )=\theta \lambda _{0}(\theta t)}$

ここで、 は共変量の結合効果を表し、通常は です。(回帰係数を負の符号で指定すると、共変量の高い値によって生存時間が長くなることを意味しますが、これは単に符号の規則であり、負の符号がない場合、ハザードが増加します。) ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])}$

これは、イベントの確率密度関数が とすると満たされます。すると、生存関数は となります。このことから、調整された寿命がとなるように分布し、調整されていない寿命が同じ分布になることは簡単にわかります^[要出典] 。したがって、は次のように記述できます 。${\displaystyle f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)}$${\displaystyle S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\theta }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \log(T)}$

${\displaystyle \log(T)=-\log(\theta )+\log(T\theta ):=-\log(\theta )+\epsilon }$

ここで、最後の項は として分布します。つまり、 とは無関係です。これにより、加速故障時間モデルは回帰分析（通常は線型モデル）に簡略化されます。ここで、 は固定効果、 はノイズを表します。 の分布が異なると、 の分布も異なります。つまり、生存時間のベースライン分布も異なります。通常、生存分析のコンテキストでは、多くの観測値が打ち切られます。つまり、 のみがわかっており、 はわかりません。実際、前者は生存を表し、後者は追跡調査中のイベント/死亡/打ち切りを表します。 の分布が異常な場合、これらの右側が打ち切られた観測値は、モデルを推定する上で技術的な課題となる可能性があります。 ${\displaystyle \log(T_{0})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle -\log(\theta )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{i}>t_{i}}$${\displaystyle T_{i}=t_{i}}$${\displaystyle T_{0}}$

加速故障時間モデルにおけるの解釈は単純明快です。は、個人の関連する生涯におけるすべての出来事が 2 倍の速さで起こることを意味します。 たとえば、モデルが腫瘍の発生に関するものである場合、それはすべての前段階が曝露されていない個人の 2 倍の速さで進行することを意味し、臨床疾患までの予想時間はベースライン時間の 0.5 であることを意味します。 ただし、これはハザード関数が常に 2 倍高いことを意味するわけではありません。それは比例ハザード モデルになります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =2}$${\displaystyle \lambda (t|\theta )}$

比例ハザードモデルでは、Coxのセミパラメトリック比例ハザードモデルがパラメトリックモデルよりも広く使用されていますが、AFT モデルは主に完全にパラメトリックであり、つまり確率分布が に対して指定されます。(Buckley と James ^{[3] は}セミパラメトリック AFT を提案しましたが、応用研究ではその使用は比較的まれです。1992 年の論文で、Wei ^{[4] は}Buckley–James モデルには理論的な正当性がなく、堅牢性に欠けると指摘し、代替案を検討しました。) ベースライン寿命の分布をモデル化するためにある程度の現実的な詳細が必要な場合は、これが問題になる可能性があります。したがって、この方向への技術開発が非常に望まれます。 ${\displaystyle \log(T_{0})}$

生存モデルに脆弱性項が組み込まれている場合、比例ハザードモデルとは異なり、AFTモデルの回帰パラメータ推定値は共変量の省略に対して堅牢である。また、脆弱性項の確率分布の選択による影響も少ない。^{[5] [6]}

AFT モデルの結果は簡単に解釈できます。^[7]たとえば、死亡率をエンドポイントとする臨床試験の結果は、対照群と比較して新しい治療法による将来の平均余命の一定割合の増加として解釈できます。つまり、患者は新しい治療を受ければ (たとえば) 15% 長く生きられると予測される、と伝えられるのです。ハザード比は、一般の人にもわかるように説明するのが難しい場合があります。

対数ロジスティック分布は、最も一般的に使用される AFT モデルを提供します^[要出典]。ワイブル分布とは異なり、初期に増加し、後期に減少する非単調なハザード関数を示すことがあります。形状は対数正規分布に似ていますが、裾が重くなっています。対数ロジスティック累積分布関数は単純な閉じた形式を持ち、これは打ち切りのあるデータをフィッティングするときに計算上重要になります。打ち切り観測値の場合、累積分布関数の補数である生存関数、つまり を評価できる必要があります。 ${\displaystyle S(t|\theta )=1-F(t|\theta )}$

ワイブル分布（特別なケースとして指数分布を含む）は、比例ハザードモデルまたは AFT モデルのいずれかとしてパラメータ化することができ、この特性を持つ唯一の分布群です。したがって、ワイブルモデルの適合結果は、どちらのフレームワークでも解釈できます。ただし、このモデルの生物学的適用性は、ハザード関数が単調である、つまり減少または増加であるという事実によって制限される可能性があります。

正の実数などの乗法的に閉じた群上の分布はどれも、AFT モデルに適しています。その他の分布には、対数正規分布、ガンマ分布、ハイパータバスティック分布、ゴンペルツ分布、逆ガウス分布などがありますが、これらは累積分布関数が閉じた形式を持たないこともあり、対数ロジスティック分布ほど一般的ではありません。最後に、一般化ガンマ分布は、ワイブル分布、対数正規分布、ガンマ分布を特殊なケースとして 含む 3 パラメータ分布です。

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• Bagdonavicius, Vilijandas; Nikulin, Mikhail (2002)、加速生命モデル。モデリングと統計分析、Chapman&Hall/CRC、ISBN 1-58488-186-0