6174

6174という数字は、インドの数学者D.R.カプレカールにちなんでカプレカール定数^{[1] [2] [3]}として知られています。この数字は次の規則で有名です。

1. 少なくとも 2 つの異なる数字を使用して、任意の 4 桁の数字を取得します (先頭のゼロは許可されます)。
2. 数字を降順、次に昇順に並べて 2 つの 4 桁の数字を取得し、必要に応じて先頭にゼロを追加します。
3. 大きい数から小さい数を引きます。
4. 手順 2 に戻って繰り返します。

上記のプロセスはカプレカーのルーチンとして知られており、最大7回の反復で常に固定点6174に到達します。 ^[4] 6174に到達すると、プロセスは7641-1467=6174を生み出し続けます。たとえば、1459を選択します。

カプレカーのルーチンが 6174 に到達しない唯一の 4 桁の数字は、1111 などの繰り返し数字で、1 回の反復で結果が0000 になります。他のすべての 4 桁の数字は、先頭にゼロを付けて桁数を 4 に抑えると、最終的に 6174 に到達します。3 つの数字が同じで、4 番目の数字が 1 つ大きいか小さい数字 (2111 など) の場合、先頭にゼロを付けて 3 桁の数字を扱うことが不可欠です。たとえば、2111 – 1112 = 0999、9990 – 999 = 8991、9981 – 1899 = 8082、8820 – 288 = 8532、8532 – 2358 = 6174 です。^[5]

4 桁以外の桁長にも同様の固定小数点が存在する場合があります。たとえば、3 桁の数字を使用する場合、ほとんどのシーケンス (つまり、111 などの繰り返し数字以外) は、最大 6 回の反復で値495で終了します。これらの数値 (495、6174、および他の桁長または 10 以外の基数での対応する数値) は、「カプレカー定数」と呼ばれることがあります。

カプレカー定数は、乱数を生成する目的で暗号化によく使用されます。カプレカーのルーチンは、暗号化と復号化に使用できる完全にランダムな数値を生成する方法を提供します。この手法は、ランダムな素数を生成するためにもよく使用されます。

数値解析では、カプレカー定数を使用してさまざまな数値手法の収束を解析できます。数値手法は、工学、さまざまな形式の微積分、コーディング、その他多くの数学および科学の分野で使用されます。

カプレカーのルーチンの特性は、再帰関数の研究、つまり以前の値を繰り返したり、これらの値に基づいてシーケンスを生成する関数の研究を可能にします。カプレカーのルーチンは再帰算術シーケンスであるため、再帰関数の特性の研究に役立ちます。^[6]

• 6174 は 7 の滑らかな数です。つまり、その素因数はどれも 7 より大きくありません。
• 6174 は 18 の最初の 3 つの累乗の合計として表すことができます。
  • 18 ³ + 18 ² + 18 ¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174、そして偶然にも、6 + 1 + 7 + 4 = 18 です。
• 6174 の素因数の平方の合計は平方数です。
  • 2 ² + 3 ² + 3 ² + 7 ² + 7 ² + 7 ² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13 ²

ウィキメディア・コモンズには、 6174 (番号)に関連するメディアがあります。

• ボウリー、ロジャー (2011 年 12 月 5 日)。「6174 はカプレカーの定数です」。Numberphile 。ノッティンガム大学:ブレイディ・ハラン。
• 任意の 4 桁の数字を Kaprekar 定数まで計算するサンプル (Perl) コード
• 任意の 4 桁の数字を Kaprekar 定数まで計算するサンプル (Python) コード
• 最初の 10000 個の数値とそのステップをカプレカー定数まで調べるサンプル (C) コード