名前 変換をT-Π表現で図示したもの。 Y -Δ変換は 、主に2つの図形に基づいて、さまざまな名称で呼ばれています。Yは「 wye」 と表記され、 T またはスター とも呼ばれます。Δは 「delta」 と表記され、三角形 、π パイ ）、またはメッシュ とも呼ばれます。したがって、この変換の一般的な名称には、wye-delta またはdelta-wye 、star-delta 、star-mesh 、またはT-Π などがあります。
本稿で使用されているラベル付きのΔ回路とY回路。 この変換は、3 つの端子を持つネットワークの等価性を確立するために使用されます。3 つの要素が共通のノードで終端し、いずれも電源でない場合、インピーダンスを変換することでノードが消去されます。等価性のためには、任意の 2 つの端子間のインピーダンスが両方のネットワークで同じである必要があります。ここに示されている方程式は、複素インピーダンスと実数インピーダンスの両方に有効です。複素インピーダンス は、抵抗を通常の方法で正の実数として表し、 リアクタンスを正と負の 虚数 として表す、オーム で測定される量です。
基本的な考え方はインピーダンスを計算することですR Δ {\displaystyle R_{\Delta }}
R Δ = R P R 反対 {\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}} どこR P = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 {\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} R 反対 {\displaystyle R_{\text{反対}}} R Δ {\displaystyle R_{\Delta }}
R 1 = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 = R 2 + R 3 + R 2 R 3 R 1 R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2 = R 1 + R 3 + R 1 R 3 R 2 R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3 = R 1 + R 2 + R 1 R 2 R 3 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}R_{3}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{3}}}\end{aligned}}} または、抵抗の代わりにアドミタンスを使用する場合：
Y 1 = Y 3 Y 2 ∑ Y Y Y b = Y 3 Y 1 ∑ Y Y Y c = Y 1 Y 2 ∑ Y Y {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}} アドミタンスを用いたYからΔへの一般式は、抵抗を用いたΔからYへの式と類似していることに注意してください。
変換の実現可能性は、電気回路の重ね合わせ定理の結果として示すことができる。より一般的な スターメッシュ変換 の系として導出される証明ではなく、簡潔な証明を以下のように示すことができる。等価性は、任意の外部電圧 (V 1 、 V 2 {\displaystyle V_{1},V_{2}} V 3 {\displaystyle V_{3}} N 1 、 N 2 {\displaystyle N_{1},N_{2}} N 3 {\displaystyle N_{3}} 私 1 、 私 2 {\displaystyle I_{1},I_{2}} 私 3 {\displaystyle I_{3}}
1 3 （ 私 1 − 私 2 ） 、 − 1 3 （ 私 1 − 私 2 ） 、 0 {\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0} 0 、 1 3 （ 私 2 − 私 3 ） 、 − 1 3 （ 私 2 − 私 3 ） {\displaystyle 0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)} − 1 3 （ 私 3 − 私 1 ） 、 0 、 1 3 （ 私 3 − 私 1 ） {\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)} キルヒホッフの回路法則 を用いると、等価性は容易に示せる。私 1 + 私 2 + 私 3 = 0 {\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0} 電流源のみを含むため、比較的単純です。各問題でノードにおける出力電圧を完全に一致させるには、2つの回路の等価抵抗が同じでなければなりません。これは、 直列回路と並列回路 の基本法則を用いることで容易に求めることができます。
R 3 + R 1 = （ R c + R 1 ） R b R 1 + R b + R c 、 R 3 R 1 = R 1 R c 。 {\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.} 通常、3 つの変数を表現するには 6 つの方程式で十分ですが (R 1 、 R 2 、 R 3 {\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}} R 1 、 R b 、 R c {\displaystyle R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}}
実際、重ね合わせの定理は抵抗値間の関係を確立し、一意性定理は そのような解の一意性を保証する。
ネットワークの簡素化 2つの端子間の抵抗ネットワークは、理論的には単一の等価抵抗に単純化 できます（より一般的には、インピーダンスについても同様です）。直列変換と並列変換は、これを行うための基本的なツールですが、ここに示したブリッジのような複雑なネットワークでは、それだけでは不十分です。
Y-Δ変換を使用すると、図に示すように、一度に1つのノードを削除して、さらに単純化できるネットワークを作成できます。
Y-Δ変換を用いてノードD を消去することで、ブリッジ抵抗ネットワークを変換すると、さらに容易に簡略化できる等価ネットワークが得られる。逆変換であるΔ-Y（ノードを追加する変換）は、さらなる簡略化への道を開く上でしばしば役立つ。
ブリッジ抵抗ネットワークをΔ-Y変換を用いて変換すると、さらに容易に簡略化できる等価ネットワークが得られる。 平面グラフ で表されるすべての2端子ネットワークは、直列、並列、Y-Δ、およびΔ-Y変換のシーケンスによって、単一の等価抵抗に縮小できます。[ 3 ] ただし、これらの変換を使用して単純化できない非平面ネットワークもあります。たとえば、トーラスの 周りに巻き付けられた正方格子や、ピーターセンファミリー のいずれかのメンバーなどです。
デモンストレーション
本稿で使用されているラベルを付したΔ回路とY回路。 関連{ R 1 、 R b 、 R c } {\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}} { R 1 、 R 2 、 R 3 } {\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}
ΔにおいてN3が切断されている場合の N1 と N2 間の インピーダンス ：
R Δ （ N 1 、 N 2 ） = R c ∥ （ R 1 + R b ） = 1 1 R c + 1 R 1 + R b = R c （ R 1 + R b ） R 1 + R b + R c {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}} 簡略化するために、R T {\displaystyle R_{\text{T}}} { R 1 、 R b 、 R c } {\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}
R T = R 1 + R b + R c {\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}} したがって、
R Δ （ N 1 、 N 2 ） = R c （ R 1 + R b ） R T {\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}} YにおけるN1 とN2間 の対応するインピーダンスは単純です。
R Y （ N 1 、 N 2 ） = R 1 + R 2 {\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}} したがって：
R 1 + R 2 = R c （ R 1 + R b ） R T {\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}} 繰り返してR （ N 2 、 N 3 ） {\displaystyle R(N_{2},N_{3})}
R 2 + R 3 = R 1 （ R b + R c ） R T {\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}} そしてR （ N 1 、 N 3 ） {\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}
R 1 + R 3 = R b （ R 1 + R c ） R T 。 {\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.} ここから、{ R 1 、 R 2 、 R 3 } {\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}} 線形結合 （加算および/または減算 ）によって決定できます。
例えば、（1）と（3）を足し、（2）を引くと、
R 1 + R 2 + R 1 + R 3 − R 2 − R 3 = R c （ R 1 + R b ） R T + R b （ R 1 + R c ） R T − R 1 （ R b + R c ） R T ⇒ 2 R 1 = 2 R b R c R T ⇒ R 1 = R b R c R T 。 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}} 念のため：
R 1 = R b R c R T {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}} R 2 = R 1 R c R T {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}} R 3 = R 1 R b R T {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}
平衡三相 電力システム の解析では、その単純さから、通常は等価な相（または単相）回路が解析されます。そのためには、発電機 、変圧器 、負荷、およびモータ に等価なY結線が使用されます。次の図に示す実用的なデルタ結線三相発電機の固定子 巻線は、次の6つの式を使用して等価なY結線発電機に変換できます[ a ]
デルタ結線／三角結線／パイ結線で接続された実用的な発電機。表示されている量は、フェーザ電圧と複素インピーダンスです。画像をクリックすると拡大表示されます。 Z s1Y = Z s1 Z s3 Z s1 + Z s2 + Z s3 Z s2Y = Z s1 Z s2 Z s1 + Z s2 + Z s3 Z s3Y = Z s2 Z s3 Z s1 + Z s2 + Z s3 V s1Y = （ V s1 Z s1 − V s3 Z s3 ） Z s1Y V s2Y = （ V s2 Z s2 − V s1 Z s1 ） Z s2Y V s3Y = （ V s3 Z s3 − V s2 Z s2 ） Z s3Y {\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}
結果として得られるネットワークは以下のとおりです。等価ネットワークの中性点は仮想的なものであり、線間電圧も仮想的なものです。変換中、線間電流および線間電圧（または線間電圧、相間電圧）は変化しません。
Y結線／S結線／T結線で接続された等価実用発電機。画像をクリックすると拡大表示されます。 実際のデルタ発生器が平衡状態にある場合、つまり内部フェーザ電圧の大きさが等しく、位相差が120°であり、3つの複素インピーダンスが同じである場合、前述の式は次の4つに簡略化されます。
Z sY = Z s 3 V s1Y = V s1 3 ∠ ± 30 ∘ V s2Y = V s2 3 ∠ ± 30 ∘ V s3Y = V s3 3 ∠ ± 30 ∘ {\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}}
ここで、最後の３つの式では、位相シーケンスが正/ abc の場合は最初の符号(+)が使用され、位相シーケンスが負/ acb の場合は２番目の符号(−)が使用されます。
参考文献 ↑ Kennelly, AE (1899). 「導電ネットワークにおける三角形と三点星の等価性」。Electrical World and Engineer . 34 : 413–414 . ↑ Curtis, EB; Ingerman, D.; Morrow, JA (1998). "Circular planar graphs and resist networks" . Linear Algebra and Its Applications . 283 ( 1–3 ): 115–150 . doi : 10.1016/S0024-3795(98)10087-3 . ↑ Truemper, K. (1989). "平面グラフのデルタ-Y字型縮小について". Journal of Graph Theory . 13 (2): 141– 148. doi : 10.1002/jgt.3190130202 .
参考文献 ウィリアム・スティーブンソン著『電力系統解析の基礎』 第3版、マグロウヒル社、ニューヨーク、1975年、ISBN 0-07-061285-4
外部リンク スタートライアングル変換（ 2009年8月30日にWayback Machine に アーカイブ済み）：抵抗ネットワークと抵抗器に関する知識 スタートライアングル変換計算機 
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f634337aa05e90fc7486a0f1461fbd93752fc354)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}R_{3}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd3b70c1be0d56d6165474f72790f4c5c452b7d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9ddaa81f562a2940d877abdf3fdfc5119ab270)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555fd400b9fa500913005b63dc74977cd1b075d5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397af0f10185e983be9bb27683d85dbaa0c540a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8266a793bc9ddc936105addc86b2773ab9c4ca15)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a7fdd917ec76a075f2b5619616c8068b28c6fe)