ウィンナーソーセージ

数学の確率分野において、ウィーナーソーセージは、ブラウン運動の一定距離内にあるすべての点をとったときの、時刻tまでのブラウン運動の軌跡の近傍である。中心線がブラウン運動である、一定半径のソーセージとして視覚化できる。ウィーナーソーセージは、ウィーナー過程 との関連から、 MD ドンスカーおよびSR シュリニヴァサ バラダン(1975) によってノーバート ウィーナーにちなんで名付けられた。また、この名前はウィーンソーセージとの語呂合わせでもあり、「ウィーナー」はドイツ語で「ウィーン人」を意味する。

ウィンナーソーセージは、ブラウン運動の最も単純な非マルコフ関数の 1 つです。その応用には、熱伝導などの確率的現象が含まれます。これは、フランク・スピッツァー(1964)によって最初に説明され 、マーク・カックとホアキン・マツダック・ラッティンガー (1973、1974)によってボーズ・アインシュタイン凝縮の結果を説明するために使用され、 MD ドンスカーとSR スリニヴァサ・バラダン(1975)によって証明が発表されました 。

半径δ、長さtのウインナーソーセージ_Wδ ( t )は、（あるユークリッド空間内の） ブラウン運動経路b上の集合値確率変数であり、次のように定義される。

${\displaystyle W_{\delta }(t)({b})}$は、 0≤ x ≤ tのパスb上の点b ( x )から距離δ以内の点の集合です。

ウインナーソーセージが薄くなる（δ→0）ときの体積（ルベーグ測度）| W _δ ( t )|の挙動については多くの研究が行われてきました。再スケーリングすることで、これは本質的にはソーセージが長くなる（t →∞）ときの体積を研究することと同等になります。

スピッツァー（1964）は、3次元ではソーセージの体積の期待値は

${\displaystyle E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3 }/3.}$

次元dが少なくとも3のとき、ウインナーソーセージの体積は

${\displaystyle \delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)}$

tが無限大に近づくにつれて、この式はとに置き換えられます。スピッツァーの弟子であるホイットマン (1964) は、球 よりも一般的なコンパクト セットによって断面積が与えられるウィンナー ソーセージの一般化について同様の結果を証明しました。 ${\displaystyle {\sqrt {8t/\pi }}}$${\displaystyle 2{\pi }t/\log(t)}$

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