ユニテリアンのトリック

数学において、ユニタリアントリック（またはユニタリートリック）は、リー群の表現論における手法であり、特殊線型群についてはアドルフ・フルヴィッツ （1897年）が、一般の半単純群についてはヘルマン・ワイルが導入したものである。これは、ある複素リー群Gの表現論が、あるコンパクトな実リー群Kの表現論によって質的に制御され、後者の表現論の方が容易であることを示すために適用される。重要な例としては、Gが複素一般線型群GL _n ( C ) で、K が同じサイズのベクトルに作用するユニタリー群U( n ) である場合が挙げられる。 Kの表現が完全に簡約可能であることから、少なくとも有限次元においては、 Gの複素解析的表現についても同じことが結論付けられる。

この接続を駆動するGとKの関係は、伝統的に、 Kのリー代数がGのリー代数の実数形式であるという用語で表現されます。代数群の理論では、ザリスキ位相に対して、K がGの稠密な部分集合であるという関係も表すことができます。

このトリックは簡約リー群 Gに対して有効であり、その中で重要なケースは半単純リー群です。

この「トリック」は現代数学においてさまざまな方法で述べられている。そのような定式化の 1 つは、G を複素数上の簡約群とすることである。すると、リー群として考えられるGの複素点G _{an は}、ザリスキ稠密なコンパクト部分群Kを持つ。 ^[1]特殊線型群の場合、この結果はIssai Schur (1924、以前の研究によって予見されていた) によってその特殊ユニタリ部分群に対して証明された。^[2]特殊線型群は複素半単純リー群である。そのような任意の群Gと最大コンパクト部分群K、およびG加群である有限次元の複素ベクトル空間Vに対して、そのG部分加群とK部分加群は同じである。^[3]

数学百科事典では、定式化は

古典的なコンパクトリー群は、その複素エンベロープと同じ複素線型表現とテンソル空間内の同じ不変部分空間を持ちます [...]。したがって、古典的な複素リー群に対して得られた線型表現の理論の結果は、対応するコンパクト群に引き継ぐことができ、その逆も同様です。^[4]

タンナキアン形式論の観点から、クロード・シュヴァレーは、コンパクトなリー群Kから始まるタンナカ双対性を、複素数上の双対簡約代数群Tn(K)として「複素エンベロープ」Gを構築するものとして解釈した。 ^[5] Veeravalli S. Varadarajan は、「ユニタリアントリック」を「ワイルによって発見されたコンパクトおよび複素半単純複素群間の標準的な対応」と書き、「シュヴァレーとタンナカの密接に関連した双対性理論」と、その後の量子群の発展に注目した。^[6]

アドルフ・フルヴィッツは、ユニタリ群とコンパクト直交群の場合に、コンパクトリー群上の積分が不変量を構成するためにどのように使用できるかを示した。1924年にイサイ・シューアは、この手法が不変内積の構成を介してそのような群の表現の完全な還元可能性を示すために適用できることを示した。ワイルはシューアの方法を複素半単純リー代数に拡張し、それらがコンパクトな実数形式を持つことを示した。^[7]

コンパクト群、または連結した半単純リー群と複素半単純リー代数の有限次元線型表現の完全な可約性は、ワイルの定理と呼ばれることもある。^{[8]関連する結果である、コンパクト半単純リー群の}普遍被覆もコンパクトであるという結果も、同じ名前で呼ばれる。これは、「普遍被覆」が正式に定義される数年前にワイルによって証明された。^{[9] [10]}

をコンパクト リー群の複素表現とします。をハール測度について を積分して定義します。 は正の行列なので、となる平方根が存在します。 各 に対して、行列はユニタリです。 ${\displaystyle \pi :G\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P=\int _{G}\pi (g)\pi (g)^{*}dg}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P=Q^{2}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \tau (g)=Q^{-1}\pi (g)Q}$

• VS Varadarajan、「半単純リー群の調和解析入門」（1999年）、49ページ。
• Wulf Rossmann, Lie groups: an introduction through linear groups (2006)、p. 225。
• Roe Goodman、Nolan R. Wallach、「対称性、表現、不変量」（2009年）、171ページ。
• Hurwitz、A. (1897)、「統合による統合の統合」、Nachrichten Ges。ウィス。ゲッティンゲン: 71– 90