加重平均寿命

金融において、償還ローンまたは償還債券の加重平均残存期間（WAL）は平均残存期間とも呼ばれ、^{[1] [2] [3]}元本の返済回数の加重平均であり、1ドルの元本が返済されるまでの平均期間です。

式では、^[4]

${\displaystyle {\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},}$

どこ：

• ${\displaystyle P}$（合計）元本である、
• ${\displaystyle P_{i}}$は支払いに含まれる元本の返済であり、したがって${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\frac {P_{i}}{P}}}$は総元金のうち支払いに含まれる割合であり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$計算日から支払いまでの期間（年数）です。${\displaystyle i}$

必要に応じて、月次債券のように拡張できます。ここでは、決済日と最初のキャッシュフロー日 の間の月の割合です。${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle {\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)}$${\displaystyle \alpha}$

繰上返済が認められているローンでは、償却スケジュールのみからWALを計算することはできません。繰上返済と債務不履行の行動についても仮定する必要があり、提示されたWALは推定値となります。WALは通常、単一のキャッシュフローシーケンスから計算されます。場合によっては、オプション調整スプレッドモデルなどの複数のキャッシュフローシナリオからシミュレートされた平均寿命が計算されることもあります。^[5]

WAL を次の異なる概念と混同しないでください。

債券の期間

債券のデュレーションは、すべてのキャッシュフロー（元本と利息の両方を含む）の割引現在価値を受け取るための加重平均時間ですが、WAL は、元本の支払いのみ（利息は含まず、割引も含まない）を受け取るための加重平均時間です。均等返済の償還ローンの場合、初期の支払いは利息に重み付けされ、後期の支払いは元本に重み付けされ、さらに、現在価値（デュレーション）を取ることで後期の支払いが割引されるため、WAL はデュレーションよりも高くなります。

元金の50％が返済されるまでの時間

WAL は平均値ですが、「元本の 50% が返済される」は中央値です。平均値と中央値の違いを参照してください。定額返済の元本償還ローンの場合、未払い元本は(時間の)凹関数であるため、 WAL の時点で返済される元本の半分未満になります。直感的に、これは元本の返済のほとんどが最後に行われるためです。正式には、返済の分布は負の歪みを持っています。つまり、最初の少額の元本返済は、中央値を減らすよりも WAL (平均値) を引き下げます。

加重平均満期日（WAM）

WAM は複数のローンの満期日の平均であり、元本の返済額の平均ではありません。

WAL は、ローンの主な信用リスクが元本損失のリスクであることを念頭に置くと、固定利付証券の信用リスク分析に役立つ指標です。他の条件が同じであれば、元本残高が長い債券 (つまり、WAL が長い債券) は、WAL が短い債券よりも信用リスクが高くなります。特に、WAL はI スプレッド計算における利回り比較の基準としてよく使用されます。

WAL は、元本のキャッシュフローのみを含み、利払いを省略しているため、金利変動に対する債券の価格感応度を推定するために使用すべきではありません。代わりに、すべてのキャッシュフローを 組み込んだ債券デュレーションを使用する必要があります。

一括返済型ローン（非償却型）の WAL は、満期日に元金が正確に返済されるため、満期日とまったく同じです。

30 年間の均等償却ローンで毎月同額を支払う場合、所定の年利率 (および 100,000 ドルの元本残高あたりの対応する月々の支払い。償却計算機と、償却支払額、総利息、WAL に関連する以下の式を使用して計算) に対して、次の WAL が得られます。

金利が上昇すると、元本返済額が徐々に増えるため、WAL が増加することに注意してください。支払い額と合計利息は元本に比例しますが、WAL は元本残高とは無関係です。

元金が直線的に減価する 0% のクーポンの場合、元金は後払い(期間終了時) なので、WAL は期間のちょうど半分と支払い期間の半分を加えたものになります。したがって、毎月支払う 30 年間の 0% ローンの場合、WAL は年数になります。 ${\displaystyle 15+1/24\approx 15.04}$

WAL を使用すると、次のように総利息支払額を簡単に計算できます。

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

ここで、rは年利率、P は当初元本です。

これは、次のように直感的に理解できます。「WAL の元本の平均ドルは未払いであるため、平均ドルの利息は であり、これに元本を掛けると合計利息支払額が得られます。」 ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

より厳密に言えば、結果は次のようにして導き出すことができます。説明を簡単にするために、支払いは毎月行われるものと仮定します。したがって、定期金利は年間金利を 12 で割った値で、時間は(年単位の時間は月単位の期間数を 12 で割った値) です。 ${\displaystyle t_{i}=i/12}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

総利息は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

ここで、 は期間iの初めの未払い元本です(これはi番目の利子支払いの元本です)。この文は、 と示すことに要約されます。これら 2 つの量は、債券の期間加重元本総額であり、単に異なる方法で分割しているだけです。合計は、各ドルの元本が未払いである期間をカウントし (水平に で分割)、 は、各時点で未払いの元本の額をカウントします(垂直に で分割)。 ${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$

逆算すると、、などとなります。k期間が残っている時点での未払い元金は、次の k 回の元金支払いの合計とまったく同じです。最後の ( n番目) の元金支払いで支払われる元金は、 n期間すべてにわたって未払いですが、最後から 2 番目の (( n − 1) 番目) の元金支払いで支払われる元金は、 n − 1 期間 にわたって未払いとなります 。これを使用して、合計が等しくなるように並べ替えることができます。 ${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}}$

たとえば、元金が 100 ドル、80 ドル、50 ドル（返済額は 20 ドル、30 ドル、50 ドル）と償却される場合、一方では合計額は となり、他方では となります。これは、償却スケジュールを元金返済額に分割して示した次の表で示されています。各列は、各行は です。 ${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$${\displaystyle 100+80+50=230}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$

上記は逆にすることもできます。つまり、（元金、期間、利率）の条件と分割支払額Aが与えられれば、分割支払スケジュールを知らなくても WAL を計算できます。支払総額は で、利息支払総額は なので、WAL は次のようになります。 ${\displaystyle あん}$${\displaystyle An-P}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

同様に、元本に対する総利息の割合は次のように表されます。 ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

• ファボッツィ、フランク・J.（2000）、固定収入証券ハンドブック、ISBN 0-87094-985-3

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