ウェブメルカトル投影

Web Mercator、Google Web Mercator、Spherical Mercator、WGS 84 Web Mercator ^[1]またはWGS 84/Pseudo-Mercator は、メルカトル 図法の変形であり、Webマッピング アプリケーションの事実上の標準です。2005年にGoogle マップが採用して注目を集めました。^{[2] Google マップ、} CARTO、Mapbox、^[3] Bing Maps、OpenStreetMap、Mapquest、Esriなど、事実上すべての主要なオンライン マップ プロバイダーで使用されています。 ^[4]公式のEPSG 識別子は EPSG:3857 ですが、歴史的には他の識別子も使用されてきました。

Web メルカトル図法はメルカトル図法の若干の変形で、主に Web ベースのマッピング プログラムで使用されます。小規模の地図に使用される標準のメルカトル図法と同じ公式を使用します。ただし、Web メルカトル図法ではすべてのスケールで球面公式が使用されるのに対し、大規模なメルカトル図法では通常、楕円形の投影法が使用されます。^[要出典]この相違は地球規模では目立ちませんが、ローカル エリアの地図は同じスケールの真の楕円体メルカトル図法からわずかにずれる原因となります。

ウェブメルカトルの公式はメルカトルの球面形用ですが、地理座標はWGS 84楕円体基準系でなければなりません。この矛盾により、投影はわずかに非等角になります。ウェブメルカトルが標準メルカトルの使用法と異なるという一般的な理解の欠如が、かなりの混乱と誤用を引き起こしています。^{[4] : 87}座標変換中にウェブメルカトルを標準メルカトルと間違えると、地上で最大40 kmの偏差につながる可能性があります。^{[5] [6]}これらの理由から、米国国防総省は国家地理空間情報局を通じて、この地図投影は公式の使用には受け入れられないと宣言しました。^[5]

球面のほとんどの地図投影とは異なり、Web メルカトルは、赤道半径と極半径の間の妥協ではなく、WGS 84 回転楕円体の赤道半径を使用します。これにより、ほとんどの地図よりも、地図の記載された (公称) 縮尺と比較して、地図がわずかに大きくなります。

ウェブメルカトルの計算式は、基本的に標準の球面メルカトルと同じですが、ズームを適用する前に、「世界座標」が調整され、左上隅が(0, 0)、右下隅が( , )${\displaystyle 2^{\text{ズームレベル}}-1}$${\displaystyle 2^{\text{ズームレベル}}-1}$になります。^[7] ここで、 はラジアン単位の経度、はラジアン単位の測地緯度 です。^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left\lfloor {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2^{\text{ズームレベル}}\left(\pi +\lambda \right)\right\rfloor {\text{ピクセル}}\\[5pt]y&=\left\lfloor {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2^{\text{ズームレベル}}\left(\pi -\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]\right)\right\rfloor {\text{ピクセル}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \varphi}$

メルカトル図法では極が無限遠に投影されるため、Web メルカトル図法を使用した地図では極を表示できません。Google マップなどのサービスでは、北緯 85.051129° と南緯 85.051129° で範囲が切り捨てられます。これは、このようなサービスの主な目的であるストリート マップの制限ではありません。値 85.051129° は、投影された地図全体が正方形になる緯度であり、 y = 0 として計算されます。 ${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{\text{max}}=\left[2\arctan(e^{\pi })-{\frac {\pi }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

この投影法は厳密に楕円体でも球体でもない。EPSGの定義では、この投影法は「楕円体座標の球面展開を使用する」とされている。^[9]基礎となる地理座標は、地球表面のWGS84楕円体モデルを使用して定義されるが、球体上に定義されているかのように投影される。 ^[6]この方法は、小規模な地図（世界全体など）では異論はないが、大規模な地図（都市や州など）ではほとんど前例がない。^[10]

Web メルカトル図法は球面メルカトル図法なので、球面メルカトル図法と同じ特性があります。つまり、北はどこでも上、子午線は等間隔の垂直線、角度は局所的に正確 (球面座標を想定)、面積は赤道からの距離に応じて拡大し、極地域は大幅に誇張されます。楕円体メルカトル図法にはこれらの特性がありますが、地球を楕円体としてモデル化します。

ただし、楕円体メルカトルとは異なり、ウェブ メルカトルは完全に等角ではありません。つまり、表面上の線の間の角度は、地図上で同じ角度に描画されませんが、目でわかるほどずれることはありません。線がずれるのは、ウェブ メルカトルでは座標が WGS 84 楕円体モデルで測量されたものとして指定されるためです。楕円体に対して測量された座標を球体で測量されたかのように投影すると、角度の関係がわずかに変わります。これは標準球面メルカトル投影の標準的な方法ですが、ウェブ メルカトルとは異なり、球面メルカトルは通常、市街地図などのローカル エリアの地図には使用されないため、プロットに必要な位置の精度は、球面式を使用することで生じる角度のずれよりも通常は低くなります。ウェブ メルカトルの利点は、球面形式は楕円体形式よりも計算がはるかに簡単で、必要な計算リソースがほんのわずかであることです。^[11]

EPSGレジストリによる採用が遅れているため、WebメルカトルはEPSG:900913、EPSG:3785、EPSG:3857など、いくつかの異なる名前と空間参照システム識別子（SRID）で表され、EPSG:3857は2009年から公式のEPSG識別子となっている。^[12]

投影座標参照系には当初、公式の空間参照識別子 ( SRID ) がなかったため、OGP の地理情報委員会 (EPSG としても知られる) の測地学小委員会は SRID の提供を拒否し、「Microsoft、Google などが使用している座標参照系を確認した結果、技術的に欠陥があると判断しました。不適切な測地学や地図作成法を含めることで EPSG データセットの価値を下げるつもりはありません」と宣言しました。^[13]非公式コード「EPSG:900913」(GOOGLE を数字に書き起こしたもの) が使用されるようになりました。これはもともと Christopher Schmidt が Technical Ramblings ブログ^[14]で定義したもので、OpenLayers 2 ^[15]で体系化され、技術的には OpenLayers が SRID の権威となります。

2008年にEPSGは公式識別子EPSG:3785を公式名称「Popular Visualisation CRS / Mercator」で提供しましたが、「公式の測地系ではない」と注記しました。^[6]この定義では、地球の球形（楕円体ではなく）モデルが使用されました。

その年の後半、EPSGは更新された識別子EPSG:3857を提供し、正式名称は「WGS 84 / 擬似メルカトル」となった。^[6]定義は球体ではなくWGS84楕円体（EPSG:4326）を使用するように変更された。

この予測はGoogleと密接に関連しているが、EPSGの標準ではMicrosoftが「情報源」として記載されている。^[12]

使用されている他の識別子には、ESRI:102113、ESRI:102100、OSGEO:41001などがあります。^{[16] [14]}

ESRI:102113はEPSG:3785に対応し、ESRI:102100はEPSG:3857に対応する。^[17]

この投影法は地球を経度-180°から180°、北緯85.05°と南緯85.05°までカバーする。座標参照系のよく知られたテキスト表現（WKT）を用いると、EPSG:3857は次のように定義される。^[12]

PROJCRS["WGS 84 / 擬似メルカトル図法",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        アンサンブル["世界測地系 1984 アンサンブル",
            メンバー["世界測地系1984（トランジット）", ID["EPSG",1166]],
            メンバー["世界測地系1984（G730）", ID["EPSG",1152]],
            メンバー["世界測地系1984（G873）", ID["EPSG",1153]],
            メンバー["世界測地系1984（G1150）", ID["EPSG",1154]],
            メンバー["世界測地系1984（G1674）", ID["EPSG",1155]],
            メンバー["世界測地系1984（G1762）", ID["EPSG",1156]],
            メンバー["世界測地系1984（G2139）", ID["EPSG",1309]],
            楕円体["WGS 84", 6378137, 298.257223563, 長さ単位["メートル", 1, ID["EPSG",9001]], ID["EPSG",7030]],
            アンサンブル精度[2], ID["EPSG",6326]],
        ID["EPSG",4326]],
    変換["一般的な視覚化擬似メルカトル",
        METHOD["Popular Visualisation Pseudo Mercator", ID["EPSG",1024]],
        PARAMETER["自然起源の緯度", 0, ANGLEUNIT["度", 0.0174532925199433, ID["EPSG",9102]], ID["EPSG",8801]],
        PARAMETER["自然原点の経度", 0, ANGLEUNIT["度", 0.0174532925199433, ID["EPSG",9102]], ID["EPSG",8802]],
        PARAMETER["偽東", 0, LENGTHUNIT["メートル", 1, ID["EPSG",9001]], ID["EPSG",8806]],
        PARAMETER["偽北", 0, LENGTHUNIT["メートル", 1, ID["EPSG",9001]], ID["EPSG",8807]],
        ID["EPSG",3856]],
    CS[直交座標, 2, ID["EPSG",4499]],
    AXIS["東経 (X)", 東],
    AXIS["北緯 (Y)"、北]、
    長さ単位["メートル", 1, ID["EPSG",9001]],
    ID["EPSG",3857]]