ワレニウスの非心超幾何分布

確率論と統計学において、ワレニウスの非心超幾何分布（ケネス・テッド・ワレニウスにちなんで命名）は、項目が偏りを持ってサンプリングされる超幾何分布の一般化です。

この分布は、偏りのある壷モデルとして表すことができます。たとえば、壷にm _{1 個の}赤いボールとm _{2 個の}白いボールが入っていて、合計N = m ₁ + m _{2 個}のボールがあるとします。各赤いボールの重さは ω 1 で、各白いボールの重さは ω 2 です。オッズ比は ω = ω 1 / ω 2 であるとします。ここ_で、_特定の抽選_で特定のボールを取る確率が、その瞬間に壷にあるすべてのボールの合計重量に対する割合に等しくなるように、n 個のボールを 1 つずつ取ります。この実験で得られる赤いボールの数x ₁は、ワレニウスの非心超幾何分布に従う ランダム変数です。

非心超幾何分布が複数あるという事実によって、問題は複雑になります。ワレニウスの非心超幾何分布は、ボールが 1 つずつサンプリングされ、ボール間に競争がある場合に得られます。フィッシャーの非心超幾何分布は、ボールが同時にまたは互いに独立してサンプリングされた場合に得られます。残念ながら、両方の分布は、文献では「非心超幾何分布」として知られています。この名前を使用する場合は、どの分布を意味しているかを明確にすることが重要です。

オッズ比が 1 の場合、2 つの分布は両方とも (中心)超幾何分布に等しくなります。

これら 2 つの確率分布の違いは微妙です。より詳しい説明については、 非心超幾何分布に関する Wikipedia の項目を参照してください。

一変量ワレニウスの非心超幾何分布

パラメータ	${\displaystyle m_{1},m_{2}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N=m_{1}+m_{2}}$ ${\displaystyle n\in [0,N)}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{+}}$
サポート	${\displaystyle x\in [x_{min},x_{max}]}$ ${\displaystyle x_{min}=\max(0,n-m_{2})}$ ${\displaystyle x_{max}=\min(n,m_{1})}$
ＰＭＦ	${\displaystyle {\binom {m_{1}}{x}}{\binom {m_{2}}{nx}}\int _{0}^{1}(1-t^{\omega /D})^{x}(1-t^{1/D})^{nx}\operatorname {d} t}$ どこ${\displaystyle D=\omega (m_{1}-x)+(m_{2}-(nx))}$
平均	解によって近似される${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\frac {\mu }{m_{1}}}+\left(1-{\frac {n-\mu }{m_{2}}}\right)^{\omega }=1}$
分散	${\displaystyle \approx {\frac {Nab}{(N-1)(m_{1}b+m_{2}a)}}\,}$、 どこ ${\displaystyle a=\mu (m_{1}-\mu ),\;b=(n-\mu )(\mu +m_{2}-n)}$

ワレニウスの分布は、各ボールが選ばれる確率がボールの重量だけでなく、競合するボールの総重量にも依存するため、特に複雑です。また、競合するボールの重量は、以前のすべての抽選の結果によって決まります。

この再帰的な依存関係により、上記の表の確率質量関数の式の積分によって 開いた形式で与えられる解を持つ差分方程式が生じます。

確率質量関数の閉じた形式の表現は存在する (Lyons, 1980) が、縮退したケースを除いて、 数値的に極めて不安定であるため、実際の計算にはあまり役立ちません。

再帰、テイラー展開、数値積分など、他のいくつかの計算方法も使用されます(Fog、2007、2008)。

最も信頼性の高い計算方法は、以下のプロパティで示す再帰式を使用して、f( x、n-1)とf(x-1、n-1)からf(x、n)を再帰的に計算することです。右の図に示すように、f(0、0) = 1から始めて、目的のポイントに至るすべての可能な軌道上のすべての( x、n )の組み合わせの確率が計算されます。計算する確率の総数はn ( x +1) -x2です。nとxが非常に大きく、この方法が非効率的である 場合^は、他の計算方法を使用する必要があります。

すべてのボールが同じ色である確率は計算が簡単です。多変量分布の以下の式を参照してください。

平均値の正確な公式は知られていません (すべての確率を完全に列挙しない限り)。上記の式は十分に正確です。この式は、ニュートン ラプソン反復法によって μ について解くことができます。同じ式を使用して、実験的に得られた平均値からオッズを推定できます。

ワレニウス分布は、フィッシャーの非心超幾何分布よりも対称関係が少ない。唯一の対称性は色の入れ替えに関するものである。

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x;n,m_{1},m_{2},\omega )=\operatorname {wnchypg} (nx;n,m_{2},m_{1},1/\omega )\,.}$

フィッシャーの分布とは異なり、ワレニウスの分布には、取られなかったボールの数に関して対称性がありません。

次の再帰式は確率を計算するのに役立ちます。

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x;n,m_{1},m_{2},\omega )=}$

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x-1;n-1,m_{1},m_{2},\omega ){\frac {(m_{1}-x+1)\omega }{(m_{1}-x+1)\omega +m_{2}+xn}}+}$

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x;n-1,m_{1},m_{2},\omega ){\frac {m_{2}+x-n+1}{(m_{1}-x)\omega +m_{2}+x-n+1}}}$

別の再帰式も知られています:

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x;n,m_{1},m_{2},\omega )=}$

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x-1;n-1,m_{1}-1,m_{2},\omega ){\frac {m_{1}\omega }{m_{1}\omega +m_{2}}}+}$

${\displaystyle \operatorname {wnchypg} (x;n-1,m_{1},m_{2}-1,\omega ){\frac {m_{2}}{m_{1}\omega +m_{2}}}\,.}$

確率は

${\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x)\leq \operatorname {wnchypg} (x;n,m_{1},m_{2},\omega )\leq \operatorname {f} _{2}(x)\,,\,\,{\text{for}}\,\,\omega <1\,,}$

${\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x)\geq \operatorname {wnchypg} (x;n,m_{1},m_{2},\omega )\geq \operatorname {f} _{2}(x)\,,\,\,{\text{for}}\,\,\omega >1\,,{\text{where}}}$

${\displaystyle \operatorname {f} _{1}(x)={\binom {m_{1}}{x}}{\binom {m_{2}}{nx}}{\frac {n!}{(m_{1}+m_{2}/\omega )^{\underline {x}}\,(m_{2}+\omega (m_{1}-x))^{\underline {nx}}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {f} _{2}(x)={\binom {m_{1}}{x}}{\binom {m_{2}}{nx}}{\frac {n!}{(m_{1}+(m_{2}-x_{2})/\omega )^{\underline {x}}\,(m_{2}+\omega m_{1})^{\underline {nx}}}}\,,}$

ここで、下線付きの上付き文字は階乗の低下 を表します。 ${\displaystyle a^{\underline {b}}=a(a-1)\ldots (a-b+1)}$

この分布は、壷の中のボールの色数cに応じて拡張できます。 多変量分布は、色が 2 色以上ある場合に使用されます。

多変量ワレニウスの非心超幾何分布

パラメータ	${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} =(m_{1},\ldots ,m_{c})\in \mathbb {N} ^{c}}$ ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}m_{i}}$ ${\displaystyle n\in [0,N)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c})\in \mathbb {R} _{+}^{c}}$
サポート	${\displaystyle \mathrm {S} =\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {Z} _{0+}^{c}\,:\,\sum _{i=1}^{c}x_{i}=n\right\}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{x_{i}}}\right)\int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{c}(1-t^{\omega _{i}/D})^{x_{i}}\operatorname {d} t\,,}$ どこ${\displaystyle D={\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {m} -\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{c}\omega _{i}(m_{i}-x_{i})}$
平均	解によって近似される${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{c}}$ ${\displaystyle \left(1-{\frac {\mu _{1}}{m_{1}}}\right)^{1/\omega _{1}}=\left(1-{\frac {\mu _{2}}{m_{2}}}\right)^{1/\omega _{2}}=\ldots =\left(1-{\frac {\mu _{c}}{m_{c}}}\right)^{1/\omega _{c}}}$ ${\displaystyle \wedge \,\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}=n\,\wedge \,\forall \,i\in [0,c]\,:\,0\leq \mu _{i}\leq m_{i}\,.}$
分散	同じ平均を持つフィッシャーの非心超幾何分布 の分散によって近似されます。

確率質量関数は、さまざまなテイラー展開法または数値積分によって計算できます(Fog、2008)。

すべてのボールが同じ色jである確率は次のように計算できます。

${\displaystyle \operatorname {mwnchypg} ((0,\ldots ,0,x_{j},0,\ldots );n,\mathbf {m} ,{\boldsymbol {\omega }})={\frac {m_{j}^{\,\,{\underline {n}}}}{\left({\frac {1}{\omega _{j}}}\sum _{i=1}^{c}m_{i}\omega _{i}\right)^{\underline {n}}}}}$

x _j = n ≤ m _jの場合、下線付きの上付き文字は階乗の低下を表します。

平均値のかなり良い近似値は、上記の式を使って計算することができます。この式は、θを次のように定義することで解くことができます。

${\displaystyle \mu _{i}=m_{i}(1-e^{\omega _{i}\theta })}$

そして解決する

${\displaystyle \sum _{i=1}^{c}\mu _{i}=n}$

ニュートン・ラプソン反復法による θ について。

平均値の式は、実験的に得られた平均値からオッズを推定するのにも役立ちます。

分散を計算する良い方法は知られていません。最もよく知られている方法は、多変量ワレニウス分布を同じ平均を持つ多変量フィッシャーの非心超幾何分布で近似し、上で計算した平均を後者の分布の分散の近似式に挿入することです。

色の順序は任意なので、任意の色を入れ替えることができます。

重みは任意に調整できます。

${\displaystyle \operatorname {mwnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,{\boldsymbol {\omega }})=\operatorname {mwnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,r{\boldsymbol {\omega }})\,\,}$すべてに対して。${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$

数値がゼロ（m _i = 0）または重みがゼロ（ω _i = 0）の色は、式から省略できます。

同じ重みの色を結合できます:

${\displaystyle \operatorname {mwnchypg} \left(\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c-1},\omega _{c-1})\right)\,=}$

${\displaystyle \operatorname {mwnchypg} \left((x_{1},\ldots ,x_{c-1}+x_{c});n,(m_{1},\ldots ,m_{c-1}+m_{c}),(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c-1})\right)\,\cdot }$

${\displaystyle \operatorname {hypg} (x_{c};x_{c-1}+x_{c},m_{c},m_{c-1}+m_{c})\,,}$

ここで、（一変量、中心）超幾何分布の確率です。 ${\displaystyle \operatorname {hypg} (x;n,m,N)}$

壷実験で取られなかったボールは、対称性の欠如により、ワレニウスの非心超幾何分布とは異なる分布を示します。取られなかったボールの分布は、相補ワレニウスの非心超幾何分布と呼ぶことができます。

相補分布の確率は、nをN - n、x _iをm _i - x _i、 ω _iを 1/ω _iに置き換えることによって、ワレニウス分布から計算されます。

• Mathematicaの WalleniusHypergeometricDistribution 。
• R プログラミング言語の実装は、BiasedUrn というパッケージとして利用できます。単変量および多変量確率質量関数、分布関数、分位数、ランダム変数生成関数、平均、分散が含まれます。
• C++での実装はwww.agner.org から入手できます。

• 非心超幾何分布
• フィッシャーの非心超幾何分布
• 偏ったサンプル
• バイアス
• 集団遺伝学
• フィッシャーの正確検定

• Chesson, J. (1976)。 「偏ったサンプリングから生じる非中心多変量超幾何分布と選択的捕食への応用」。応用確率ジャーナル。第 13巻、第 4 号。応用確率トラスト。pp. 795–797。doi :10.2307/3212535。JSTOR  3212535。
• フォグ、A.（2007）。「乱数理論」
• Fog, A. (2008). 「Wallenius の非心超幾何分布の計算方法」. Communications in Statictics, Simulation and Computation . 37 (2): 258–273. doi :10.1080/03610910701790269. S2CID  9040568.
• Johnson, NL; Kemp, AW; Kotz, S. (2005) 「単変量離散分布」 ニュージャージー州ホーボーケン: Wiley and Sons.
• Lyons, NI (1980)。「非心超幾何確率の閉じた表現」。Communications in Statistics - Simulation and Computation。第 9 巻、第 3 号。pp. 313–314。doi :10.1080/03610918008812156。
• Manly, BFJ (1974)。「特定の種類の選択実験のモデル」。バイオメトリクス。第 30 巻、第 2 号。国際バイオメトリクス協会。pp. 281–294。doi :10.2307/2529649。JSTOR  2529649。
• Wallenius, KT (1963)。偏りのあるサンプリング: 非中心超幾何確率分布。博士論文(論文)。スタンフォード大学、統計学部。