V統計

V統計は、 1947年に基礎論文で漸近分布理論を展開したリチャード・フォン・ミーゼスにちなんで名付けられた統計クラスです。^[1] V統計は、 1948年にワシリー・ホフディングによって導入されたU統計^{[2] [3]}（Uは「偏りのない」のU）と密接に関連しています。 ^[4] V統計は、確率分布の特定の統計関数によって定義される（サンプルの）統計関数です。

経験分布関数の関数 として表現できる統計量は統計関数と呼ばれる。^[5]関数Tの微分可能性はフォン・ミーゼスのアプローチにおいて重要な役割を果たす。そのためフォン・ミーゼスは微分可能な統計関数を考慮している。^[1]${\displaystyle T(F_{n})}$ ${\displaystyle (F_{n})}$

1. k次中心モーメントは関数 であり、 はXの期待値です。関連する統計関数はサンプルk次中心モーメントです。 ${\displaystyle T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)}$${\displaystyle \mu =E[X]}$

   ${\displaystyle T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.}$

2. カイ二乗適合度統計量は統計関数T ( F _n )であり、統計関数

   ${\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},}$

   ここで、A _{i は}k 個のセルであり、p _{i は}帰無仮説に基づくセルの指定された確率です。
3. クラメール・フォン・ミーゼスとアンダーソン・ダーリングの適合度統計は、機能的

   ${\displaystyle T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),}$

   ここで、w ( x ;  F ₀ ) は指定された重み関数であり、F ₀は指定されたヌル分布です。wが恒等関数の場合、 T ( F _n ) はよく知られているCramér–von-Mises適合度統計量です。wの場合、 T ( F _n ) はAnderson–Darling統計量です。 ${\displaystyle w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}}$

x ₁ , ..., x _nがサンプルであると仮定する。典型的な応用では、統計関数はV統計量として表現される。

${\displaystyle V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),}$

ここでhは対称カーネル関数である。Serfling ^[6]は実際にカーネルを見つける方法について議論している。Vmn _はm次のV統計量と呼ばれる 。

2次の対称核は関数h ( x ,  y )であり、 hの定義域内のすべてのxとyに対してh ( x , y )= h ( y , x )となる。サンプルx ₁ , ..., x _nに対して、対応するV統計量は次のように定義される。

${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).}$

4. 2次のV統計量の例としては、2次中心モーメント m _2がある。h ( x , y ) = ( x − y ) ² /2の場合、対応するV統計量は

   ${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},}$

   これは分散 の最大尤度推定値です。同じカーネルでは、対応するU統計量は（不偏）サンプル分散です。

   ${\displaystyle s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$。

例1～3では、統計量の漸近分布が異なります。(1)では正規分布、(2)ではカイ2乗分布、(3)ではカイ2乗変数の加重和です。

フォン・ミーゼスのアプローチは、上記のすべてのケースをカバーする統一理論です。^{[1]非公式には、統計関数の}漸近分布 のタイプは「退化」の順序に依存し、これは関数 Tのテイラー展開でどの項が最初の非ゼロ項であるかによって決まります。それが線形項である場合、極限分布は正規分布です。それ以外の場合は、より高次のタイプの分布が発生します (中心極限定理が成り立つような適切な条件下で)。

U統計の漸近理論と平行するケースの階層が存在する。^[7] A ( m ) を次のように定義される性質と する。

午前）：​

1. Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) = 0 （k < mの場合）、Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) > 0（k = mの場合）
2. n ^{m /2} R _{mn は}ゼロに近づきます（確率的に）。（R _{mn は}Tのテイラー級数の剰余項です。）

ケースm = 1 (非縮退カーネル):

A (1)が真であれば、統計量は​​標本平均であり、中心極限定理はT(Fn)が漸近的に正規分布であること_を意味する。

分散の例(4)では、m _2は平均と分散 （）で漸近的に正規分布している。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle (\mu _{4}-\sigma ^{4})/n}$${\displaystyle \mu _{4}=E(XE(X))^{4}}$

ケースm = 2 (縮退カーネル):

A (2)が真で、かつであると仮定する。するとnV _2,nは分布的に独立したカイ2乗変数の加重和に収束する。 ${\displaystyle E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,}$${\displaystyle E[h(x,X_{1})]\equiv 0}$

${\displaystyle nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}$

ここで、 は独立した標準正規変数であり、 は分布Fと関数Tに依存する定数です。この場合、漸近分布は中心ガウス確率変数の2次形式と呼ばれます。統計量V _{2, n は}退化カーネルV統計量と呼ばれます。クラマー・フォン・ミーゼス関数^[1] (例3)に関連付けられたV統計量は、退化カーネルV統計量の例です。^[8]${\displaystyle Z_{k}}$${\displaystyle \lambda_{k}}$

• U統計
• 漸近分布
• 漸近理論（統計学）