アンテナ等価半径

アンテナ導体の等価半径は次のように定義される: ^{[1] [2]}

${\displaystyle r_{e}=\exp \left\{{1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy\right\}}$

ここで、 は導体の円周、は円周の長さ、およびは円周上の点の位置を示すベクトル、および は円周上の微分線分です。等価半径により、均一な円形断面を持つ小型導体で作られたアンテナ用に得られた解析式や計算データまたは実験データを、均一な非円形断面を持つ小型導体で作られたアンテナの解析に適用することができます。ここで「小さい」とは、断面の最大寸法が波長 よりもはるかに小さいことを意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$${\displaystyle \scriptstyle {L}}$${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$${\displaystyle \scriptstyle {dy}}$${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

次の表は、1) すべての寸法が よりはるかに小さい、2) 複数の導体で構成される断面の場合、導体間の距離が単一の導体の寸法よりはるかに大きいと仮定して導出された、さまざまな導体断面の等価半径を示しています。正方形断面と三角形断面の式は、二重積分の数値評価から得られます。その他の式はすべて正確です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

等価半径は、任意の断面の導体の表面の平均磁気ベクトルポテンシャルを円筒の表面のポテンシャルと等しくすることによって導出されます。

導体の断面積が波長に比べて小さく、電流が導体の軸方向にのみ流れ、電流分布が導体の長さに沿ってゆっくりと変化し、電流が（表皮効果により）円周に沿ってほぼ均一に分布していると仮定します。さらに、導体上の任意の点の近傍の電流のみが、その点の電位に大きく寄与します。時間依存性は、電流分布に時間変動正弦波を乗じることで組み込むことができるため、無視されます。これらの条件は、準静的条件が存在し、形状が実質的に、表面電流密度（面積あたりの電流）が一定である無限に長い導体の1つであることを意味し、それによって3次元の問題が2次元の問題に縮小されます。また、磁気ベクトルポテンシャルが導体の軸に平行であることも意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle {Q}}$

まず、任意の断面の円周上の固定点における電位を考えます。円周を微分線 に分割すると、各線内に線密度(長さあたりの電流) の垂直線電流を配置することで電流分布を近似できます。このような線電流の電位は であることはよく知られています。ここで は透磁率定数です。 における電位は、すべてのストリップの電位の合計で、 ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$${\displaystyle \scriptstyle {Q\,dx}}$${\displaystyle \scriptstyle {-(\mu _{0}Qdx/2\pi )\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert }}$${\displaystyle \scriptstyle {\mu _{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {y}})=-{\mu _{0}Q \over 2\pi }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx.}$

平均電位は

${\displaystyle {\bar {A}}={1 \over L}\oint _{\ell }A({\boldsymbol {y}})\;dy\,=-{\mu _{0}Q \over 2\pi L}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

ここで、任意の断面積の導体と同じ線電流密度を持つ円筒の場合を考えてみましょう。円筒の表面の任意の点の電位は平均電位と等しく、次の式で表されることもよく知られています。

${\displaystyle A_{c}=-{\mu _{0}QL \over 2\pi }\ln \left(r_{e}\right).}$

等化と利回り ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$${\displaystyle \scriptstyle {A_{c}}}$

${\displaystyle \ln \left(r_{e}\right)={1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

両辺を累乗すると、等価半径の公式が得られます。

等価半径の式は、一貫した結果をもたらします。導体の断面積が係数 で拡大縮小される場合、等価半径は で拡大縮小されます。また、円筒形導体の等価半径は、導体の半径に等しくなります。 ${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\alpha |}}$