パックされたストレージマトリックス

パック ストレージ マトリックス(パック マトリックスとも呼ばれる) は、プログラミングでマトリックスを表すために使用される用語です。これは、マトリックスの特殊な構造を利用することで、m 行 n 列の長方形配列よりもコンパクトな方法です。 ${\displaystyle m\times n}$

パックストレージを活用できる行列の典型的な例は次のとおりです。

• 対称行列またはエルミート行列
• 三角行列
• バンドマトリックス。

パックされたストレージ行列を使用すると、行列を配列に変換して、行列を大幅に縮小することができます。正方行列を長さ⁠の配列に変換すると、${\displaystyle n\times n}$（n-1）/2⁠ . ^[1]

次の上側の行列を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\&&a_{33}&a_{34}\\&&&a_{44}\\\end{pmatrix}}}$

これを 1 つの配列にまとめることができます。

${\displaystyle \mathbf {UP} =(\underbrace {a_{11}} \ \underbrace {a_{12}\ a_{22}} \ \underbrace {a_{13}\ a_{23}\ a_{33}} \ \underbrace {a_{14},\ a_{24}\ a_{34}\ a_{44}} )}$^[2]

同様に下の行列:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}a_{11}&&&\\a_{21}&a_{22}&&\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}.}$

次の 1 次元配列にパックできます。

${\displaystyle LP=(\underbrace {a_{11}\ a_{21}\ a_{31}\ a_{41}} \ \underbrace {a_{22}\ a_{32}\ a_{42}} \ \underbrace {a_{33}\ a_{43}} \ \underbrace {a_{44}} )}$^[2]

次の両方のストレージ スキームは、BLAS および LAPACK で広く使用されています。

エルミート行列のパックされたストレージの例:

complex :: A ( n , n ) ! エルミート行列complex :: AP ( n * ( n + 1 ) / 2 ) ! A のパックされたストレージ! A の下三角は AP に列ごとに格納されます。! 行列 AP を A に展開しますdo j = 1 , n k = j * ( j - 1 ) / 2 A ( 1 : j , j ) = AP ( 1 + k : j + k ) A ( j , 1 : j - 1 ) = conjg ( AP ( 1 + k : j - 1 + k )) end do   
   



    
    
    

バンド行列のパックされたストレージの例:

real :: A ( m , n ) ! kl 個の副対角要素と ku 個の上対角要素を持つ帯行列real :: AP ( - kl : ku , n ) ! A のパックされたストレージ! A の帯は AP に列ごとに格納されます。AP の一部の要素は使用されません。! 行列 AP を A に展開do j = 1 , n forall ( i = max ( 1 , j - kl ): min ( m , j + ku )) A ( i , j ) = AP ( i - j , j ) end do print * , AP ( 0 ,:) ! 対角要素   
   


   
     

  

• スパース行列
• スカイラインマトリックス
• バンドマトリックス

• https://www.netlib.org/lapack/lug/
• https://www.netlib.org/blas/
• https://github.com/numericalalgorithmsgroup/LAPACK_Examples