ヴォーンの正体

数学と解析的整数論において、ヴォーンの恒等式はRCヴォーン （1977） によって発見された恒等式であり、ヴィノグラドフの三角関数の和に関する研究を簡略化するために使用できる。これは、次の形式の総和関数を推定するために使用できる。

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

ここで、f は自然整数nの算術関数であり、応用上はその値は 1 の累乗根であることが多い。また、 Λ はフォン・マンゴルト関数である。

ヴォーンが恒等式を構築した動機については、ダベンポートの第24章の冒頭で簡単に説明されている。ここでは、恒等式とその応用における使用の動機となる技術的な詳細のほとんどを省略し、代わりに部分による構成の設定に焦点を当てる。参考文献に従って、リーマンゼータ関数の対数微分を、それぞれとの上限で切断された部分ディリクレ級数である関数で展開して、4つの異なる和を構成する。より正確には、と を定義し、次の恒等式を正確に導く。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

この最後の展開は、次のように書けることを意味している。

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

ここで、構成要素関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

次に、対応する要約関数を次のよう に定義します。${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

書けるように

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4} (N)。}$

最後に、これらの合計についての技術的かつ時には繊細な推定に関する複数ページにわたる議論の結論として、^[1]、、およびと仮定すると、次の形式のヴォーンの恒等式が得られます。 ${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$${\displaystyle U,V\geq 2}$${\displaystyle UV\leq N}$

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

ヴォーンの恒等式で は、成分和をより注意深く扱い、次のように展開することで、より正確な推定値が得られる場合があることが指摘されている。${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

ヴォーンの恒等式を適用して得られる上限の最適性は、最良の関数に関してアプリケーションに依存するようであり、方程式 (V1) に入力することを選択できます。複数の著者がそれぞれ検討したさまざまなコンテキストで発生する具体的な例については、次のセクションで引用されているアプリケーションを参照してください。 ${\displaystyle U=f_{U}(N)}$${\displaystyle V=f_{V}(N)}$

• ヴォーンの恒等式は、ボンビエリ-ヴィノグラドフの定理の証明を簡略化するため、およびクンマー和を研究するために使用されてきた(下記の参考文献と外部リンクを参照)。
• ダベンポートの第25章では、ヴォーンの等式の応用例の1つとして、ヴィノグラドフの重要な素数関連の指数和を推定することが挙げられます。

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

特に、これらの合計（通常は無理数 で評価）の漸近的な上限が得られ、その有理近似は ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

フォームの

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

この推定の根拠は、ヴォーンの同一性から、やや複雑な議論によって証明される。

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

そして、および の非自明なケースにおいて、上記の最初の式を導きます。 ${\displaystyle q\leq N}$${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$

• ヴォーンの等式の別の応用例は、ダベンポートの第 26 章にあります。この章では、この方法を使用して3 つの素数の和 (指数和)の推定値を導き出します。
• ヴォーンのアイデンティティの実践例は、この有益な投稿の以下の参考文献/引用として示されています。^{[2] [3] [4] [5]}

ヴォーンの恒等式はヒース・ブラウン（1982）によって一般化された。

• ダベンポート、ハロルド（2000年10月31日）。乗法数論（第3版）。ニューヨーク：Springer Graduate Texts in Mathematics。ISBN 0-387-95097-4。
• グラハム、SW (2001) [1994]、「ヴォーンの恒等式」、数学百科事典、EMSプレス
• Heath-Brown, DR (1982)、「短区間の素数と一般化されたヴォーン恒等式」、Can. J. Math.、34 (6): 1365– 1377、doi : 10.4153/CJM-1982-095-9、MR  0678676
• Vaughan、RC (1977)、「Sommes trigonométriques sur les nombres premiers」、科学アカデミー コンプト レンデュス、シリーズ A、285 : 981–983、MR  0498434

• ヴォーンの正体に関する証明ウィキ
• ジョニの数学ノート（非常に詳細な解説）
• 数学百科事典
• テリー・タオの大きなふるいとボンビエリ・ヴィノグラドフの定理に関するブログ