時間依存変分モンテカルロ

時間依存変分モンテカルロ法（t-VMC）は、量子多体問題の文脈で閉じた非相対論的量子システムのダイナミクスを研究するための量子モンテカルロアプローチです。これは変分モンテカルロ法の拡張であり、時間依存の純粋な量子状態が、一般に次のようにパラメータ化される 変分波動関数によってエンコードされます。

${\displaystyle \Psi (X,t)=\exp \left(\sum _{k}a_{k}(t)O_{k}(X)\right)}$

ここで、複素数値は時間依存の変分パラメータであり、多体構成を表し、特定の仮説を定義する時間に依存しない演算子である。パラメータの時間発展は、波動関数に変分原理を課すことで見つけることができる。特に、発展の最適なパラメータが各時間で運動方程式を満たすことを示すことができる。 ${\displaystyle a_{k}(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{k}(X)}$${\displaystyle a_{k}(t)}$

${\displaystyle i\sum _{k^{\prime }}\langle O_{k}O_{k^{\prime }}\rangle _{t}^{c}{\dot {a}}_{k ^{\プライム }}=\langle O_{k}{\mathcal {H}}\rangle _{t}^{c},}$

ここで、は系のハミルトニアン、は連結平均であり、量子期待値は時間依存の変分波動関数上で取られます。つまり、 です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle AB\rangle _{t}^{c}=\langle AB\rangle _{t}-\langle A\rangle _{t}\langle B\rangle _{t}}$${\displaystyle \langle \cdots \rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|\cdots |\Psi (t)\rangle }$

変分モンテカルロ法と類似し、積分を評価するモンテカルロ法に従うと、多体構成 が張る多次元空間上の確率分布関数 として解釈できます。次に、メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズムを使用して、この確率分布から正確にサンプリングし、各時点で、運動方程式に入る量をサンプリングされた構成の統計平均として評価します。変分パラメータの軌跡は、関連する微分方程式の数値積分によって求められます。 ${\displaystyle {\frac {|\Psi (X,t)|^{2}}{\int |\Psi (X,t)|^{2}\,dX}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a(t)}$

• G. Carleo; F. Becca; M. Schiró & M. Fabrizio (2012). 「多体量子システムの局在とガラス状ダイナミクス」. Sci. Rep . 2 : 243. arXiv : 1109.2516 . Bibcode :2012NatSR...2E.243C. doi :10.1038/srep00243. PMC 3272662.  PMID 22355756  .

• G. Carleo; F. Becca; L. Sanchez-Palencia; S. Sorella & M. Fabrizio (2014). 「1次元および2次元ボゾン超流体における光円錐効果と超音速相関」. Phys. Rev. A . 89 (3): 031602(R). arXiv : 1310.2246 . Bibcode :2014PhRvA..89c1602C. doi :10.1103/PhysRevA.89.031602. S2CID  45660254.

• G. Carleo (2011). 強相関系のスペクトルと動的特性 (博士論文). pp. 107–128. hdl :20.500.11767/4289.