u不変

数学において、体の普遍不変量またはu不変量は、体上の 二次形式の構造を記述します。

体Fの普遍不変量u ( F ) は、 F上の異方性 2 次空間の最大次元、またはこれが存在しない場合は ∞ です。形式的に実数体はすべての次元で異方性 2 次形式 (平方和) を持つため、不変量は他の体についてのみ重要です。同等の定式化は、u は、 uより大きい次元のすべての形式が等方性である最小の数、またはu以上の次元のすべての形式が普遍 である最小の数である、というものです。

• 複素数の場合、u ( C ) = 1です。
• F が二次閉関数である場合、u ( F ) = 1 です。
• 代数的に閉じた体上の代数曲線の関数体はu ≤ 2である。これは、そのような体は準代数的に閉じているというツェンの定理に従う。^[1]
• Fが非実数グローバル体またはローカル体、あるいはより一般的には連結体である場合、u ( F ) = 1、2、4、または8となる。 ^[2]

• Fが形式的に実数でなく、 Fの特性が2でない場合、u ( F )は最大で、 Fの乗法群の平方の指数である。^[3]${\displaystyle q(F)=\left|{F^{\star }/F^{\star 2}}\right|}$
• u ( F ) は3、5、7の値をとれない。^[4] u  = 6 ^{[5] [6]}およびu  = 9 の体も存在する。 ^[7]
• メルクリェフは、あらゆる偶数整数が何らかのFに対してu ( F )の値として現れることを示した。^{[8] [9]}
• アレクサンダー・ヴィシックは、すべてのに対してu不変な体が存在することを証明した。^[10]${\displaystyle 2^{r}+1}$${\displaystyle r>3}$
• u不変量は有限次 体拡大の下で有界である。E / Fがn次体拡大である場合、

${\displaystyle u(E)\leq {\frac {n+1}{2}}u(F)\ .}$

二次拡大の場合、u不変量は次のように制限される。

${\displaystyle u(F)-2\leq u(E)\leq {\frac {3}{2}}u(F)\ }$

そしてこの範囲のすべての値が達成される。^[11]

u不変量は形式的に実数体の場合にはあまり重要ではないので、一般的な u不変量をFのウィット環の捩れ部分群における異方性形式の最大次元、またはこれが存在しない場合は∞と定義する。^[12] 非形式的に実数体の場合には、ウィット環は捩れであるため、これは前の定義と一致する。^[13] 形式的に実数体の場合には、一般的なu不変量は偶数または∞のいずれかである。

• u ( F ) ≤ 1 であるのは、Fがピタゴラス体である場合に限ります。^[13]

• ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Rajwade, AR (1993)。Squares 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第171巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42668-5.ZBL0785.11022  。​
• エルマン、リチャード; カルペンコ、ニキータ; メルクルジェフ、アレクサンダー (2008)。二次形式の代数的および幾何学的理論。アメリカ数学会コロキウム出版。第 56 巻。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州。ISBN 978-0-8218-4329-1。