Loading article…
みにくいアヒルの子の定理は、何らかの偏見なしには分類は実際には不可能であることを示す議論である。より具体的には、論理結合子によって組み合わせ可能な有限個の特性と有限個の対象を仮定し、2つの異なる対象が同じ数の（外延的）特性を共有すると主張する。この定理は、ハンス・クリスチャン・アンデルセンの1843年の物語「みにくいアヒルの子」にちなんで名付けられており、アヒルの子と白鳥の類似性は、2羽の白鳥の類似性と同じくらいであることを示している。これは1969年に渡辺聡によって導出された。[ 1 ]： 376-377
宇宙にはn個のものがあり、それらをクラスやカテゴリーに分類したいとします。どのようなカテゴリーが「自然」または「正常」で、どのようなカテゴリーがそうでないかについて、先入観や偏見はありません。したがって、考えられるすべてのクラス、 n個の対象から集合を作るすべての方法を考慮する必要があります。このような方法で、 n個のオブジェクトの冪集合のサイズを測定できます。これを使用して 2 つのオブジェクト間の類似性を測定することができ、それらが共通する集合の数を確認できます。ただし、そうすることはできません。任意の 2 つのオブジェクトは、可能なクラスを形成できる場合、まったく同じ数のクラスを共有します。（クラス総数の半分）。これが正しいことを示すには、各クラスがnビットの文字列（またはバイナリエンコードされた整数）で表され、クラスに含まれない要素には0、クラスに含まれる要素には1が与えられると想像すればよい。すると、そのような文字列。
ゼロとイチのあらゆる組み合わせが存在するため、任意の2つのビット位置がちょうど半分の確率で一致します。2つの要素を選択し、ビットを並べ替えて最初の2つにし、数値を辞書式順序でソートしたものを想像することができます。最初の数値のビット1はゼロに設定され、2番目のビットは1 に設定されます。それぞれのブロック内で、上部ビット#2はゼロに設定され、もう一方のビットはそれを1つにするため、2つのブロックに同意しますあるいは、どの2つの要素を選んでも、半分のケースで同じ結果になる。つまり、どのカテゴリーが優れているかについて先入観がなければ、すべてが等しく似ている（あるいは等しく似ていない）。2つの非同一要素が同時に満たす述語の数は、そのようなすべてのペアで一定である。したがって、特定のカテゴリーを他のカテゴリーよりも優先する判断を下すには、何らかの帰納的バイアスが必要となる。
させてベクトルの集合であるそれぞれブール値です。醜いアヒルの子は、他のベクトルと最も似ていないベクトルです。ブール値が与えられた場合、これはハミング距離を使用して計算できます。
しかし、考慮するブール特徴の選択は、ある程度恣意的であった可能性がある。おそらく、醜いアヒルの子を識別するために重要な、元の特徴から派生可能な特徴があったのだろう。ベクトル内のブール値のセットは、ブール関数として計算される新しい特徴で拡張できる。オリジナルの機能。これを行う唯一の標準的な方法は、可能なすべてのブール関数で拡張することです。結果として得られる完成したベクトルは特徴。みにくいアヒルの子の定理は、完成した2つのベクトルは等しいか、特徴のちょうど半分で異なるため、みにくいアヒルの子は存在しないと述べています。
証明。xとyを2つのベクトルとする。もしそれらが同じならば、xの任意のブール関数はyの同じブール関数と一致するので、それらの完成ベクトルも同じでなければならない。もしxとyが異なるならば、座標が存在する。どこでの 番目の座標と異なるの 番目の座標.これで完成した機能にはすべてのブール関数が含まれています。ブール変数はそれぞれ1回ずつ出現します。これらのブール関数を多項式として考えると、GF(2)上の変数、関数をペアに分割するどこ含まれる線形項として、はその線形項なしで。さて、そのようなペアごとに、そして両者は、2つの関数のうち、ちょうど1つについてのみ合意する。一方について合意すれば、他方については必ず不合意となり、その逆もまた然りである。（この証明は渡辺氏によるものと考えられている。）
みにくいアヒルの子定理を回避する一つの方法として、例えばAとBの間で分類に関わる特性を制限することで、類似性の測定方法に制約を導入することが考えられます。しかし、Medinら（1993）は、AがBとどのような点で類似しているかは「刺激の文脈や課題によって異なるため、ある対象が別の対象とどの程度類似しているかという問いに対する唯一の答えはない」ため、この方法では恣意性や偏りの問題は実際には解決されないと指摘しています。[ 3 ] [ 5 ]例えば、「縞模様という特徴に十分な重みがあれば、理髪店のポールとシマウマは、馬とシマウマよりも類似しているだろう。もちろん、これらの特徴の重みが固定されていれば、これらの類似性の関係は制約されることになる」。しかし、重みの「固定」または制約としての「縞模様」という特性自体が恣意的であり、つまり「そのような基準を指定できない限り、分類が属性の一致に基づいているという主張は、ほとんど完全に空虚である」ということです。
Stamos（2003）は、全体的な類似性に関する判断の中には、有用であるという意味で恣意的でないものもあると述べている。
「おそらく、人間の知覚および概念プロセスは、人間のニーズや目標にとって重要な情報は類似性ヒューリスティックによっておおよそ近似できるという方向に進化してきたのだろう。もしあなたがジャングルにいてトラを見ても、ステレオタイプ化しないことに決めた場合（おそらく類似性は偽りの友だと信じているから）、おそらく食べられてしまうだろう。言い換えれば、生物の世界では、全体的な類似性に関する真実の判断に基づくステレオタイプ化は、統計的に生存と繁殖の成功を高める結果となる。」[ 6 ]
いくつかの特性がより顕著である、あるいは他の特性よりも「重み付け」されて重要視されない限り、すべてが等しく似ているように見えるため、渡辺（1986）は「区別できる限り、あらゆる物体は等しく似ている」と書いた。[ 7 ]
無限に多くの特性を仮定するより弱い設定において、マーフィーとメディン（1985）は、分類対象とされる2つのもの、プラムと芝刈り機を例として挙げている。
「プラムと芝刈り機の類似性を判断するために、両者に共通する属性を列挙するとしましょう。リストは無限になり得ることは容易にわかります。どちらも10,000 kg未満（10,001 kg未満）の重さで、どちらも10,000,000年前（10,000,001年前）には存在せず、どちらも耳がよく聞こえず、どちらも落とすことができ、どちらも場所を取る、などです。同様に、相違点のリストも無限になり得ます…関連する属性として何が重要かという基準を変えることで、任意の2つの実体は任意に類似または非類似になり得るのです。」[ 8 ]
ウッドワードによれば、[ 9 ] みにくいアヒルの子の定理は、シェーファーの汎化性能の保存則に関連しており、入力/出力例からブール関数を学習するすべてのアルゴリズムは、ランダム推測と同じ全体的な汎化性能を持つと述べている。[ 10 ] 後者の結果は、ウッドワードによって可算無限領域上の関数に一般化されている。[ 11 ]
