流体力学 において、乱流運動エネルギー （TKE ）とは、 乱流 中の渦 に関連する単位質量あたりの平均運動エネルギーのことです。物理的には、乱流運動エネルギーは、測定された 二乗平均平方根 （RMS）速度変動によって特徴付けられます。レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式では、乱流運動エネルギーは、閉鎖法、すなわち 乱流モデル に基づいて計算できます。
TKEは、速度成分の 分散 σ²（標準偏差σの二乗）の合計の半分として定義できる。k = 1 2 （ σ u 2 + σ v 2 + σ w 2 ） = 1 2 （ （ u ′ ） 2 ¯ + （ v ′ ） 2 ¯ + （ w ′ ） 2 ¯ ） 、 {\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),} u ′ = u − u ¯ {\displaystyle u'=u-{\overline {u}}} レイノルズ分解 ）。平均 と分散はu ′ ¯ = 1 T ∫ 0 T （ u （ t ） − u ¯ ） d t = 0 、 （ u ′ ） 2 ¯ = 1 T ∫ 0 T （ u （ t ） − u ¯ ） 2 d t = σ u 2 ≥ 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt=\sigma _{u}^{2}\geq 0,\end{aligned}}}
乱流運動エネルギー（TKE）は、流体のせん断力、摩擦力、浮力、または低周波渦スケール（積分スケール）における外部からの力によって生成されます。乱流運動エネルギーは乱流エネルギーカスケード に沿って伝達され、コルモゴロフスケール で粘性力によって散逸されます。この生成、輸送、散逸のプロセスは次のように表すことができます。 D k D t + ∇ ⋅ T ′ = P − ε 、 {\displaystyle {\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,} [ 1 ]
D k D t {\displaystyle {\tfrac {Dk}{Dt}}} 物質微分です。 ∇ · T′ は TKE の乱流輸送です。P はTKEの生産量であり、ε は乱流運動エネルギー散逸率である。分子粘度が一定であると仮定し、ブシネスク近似 を用いると、TKE方程式は次のようになる。 ∂ k ∂ t ⏟ 地元 派生 + u ¯ j ∂ k ∂ x j ⏟ 移流 = − 1 ρ o ∂ u 私 ′ p ′ ¯ ∂ x 私 ⏟ プレッシャー 拡散 − 1 2 ∂ u j ′ u j ′ u 私 ′ ¯ ∂ x 私 ⏟ 乱流 輸送 T + ν ∂ 2 k ∂ x j 2 ⏟ 分子 粘性のある 輸送 − u 私 ′ u j ′ ¯ ∂ u 私 ¯ ∂ x j ⏟ 生産 P − ν ∂ u 私 ′ ∂ x j ∂ u 私 ′ ∂ x j ¯ ⏟ 放蕩 ε k − g ρ o ρ ′ u 私 ′ ¯ δ 私 3 ⏟ 浮力フラックス b {\displaystyle \underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}}
これらの現象を調べることで、特定の流れの乱流運動エネルギー収支を求めることができる。[ 2 ]
計算流体力学 計算流体力学 （CFD）では、流れ場をコルモゴロフ微小スケール まで離散化することなく乱流を数値的にシミュレートすることは不可能であり、これを直接数値シミュレーション （DNS）と呼びます。DNSシミュレーションはメモリ、計算、ストレージのオーバーヘッドのために非常にコストがかかるため、乱流モデルを使用して乱流の影響をシミュレートします。さまざまなモデルが使用されますが、一般的に、乱流運動エネルギー（TKE）は流体の乱流をモデル化するために計算しなければならない基本的な流れの特性です。
レイノルズ平均ナビエ・ストークス （RANS）シミュレーションでは、ブシネスク渦粘性 仮説[ 3 ] レイノルズ応力を 計算します。u 私 ′ u j ′ ¯ = 2 3 k δ 私 j − ν t （ ∂ u 私 ¯ ∂ x j + ∂ u j ¯ ∂ x 私 ） 、 {\displaystyle {\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),} ν t = c ⋅ k ⋅ l m 。 {\displaystyle \nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.}
TKEを解く正確な方法は、使用する乱流モデルによって異なります。k – ε 。 （ u ′ ） 2 ¯ = （ v ′ ） 2 ¯ = （ w ′ ） 2 ¯ 。 {\displaystyle {\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.}
この仮定により乱流量（k とε ）のモデリングは簡単になりますが、乱流応力の異方性挙動が支配的なシナリオでは正確ではなくなり、乱流の生成におけるこの影響は、生成が平均ひずみ速度に依存し、法線応力の差（仮定により等しいとされているため）に依存しないため、過大予測につながります。[ 4 ]
レイノルズ応力 モデル（RSM）は、レイノルズ応力を閉じるために異なる方法を使用し、法線応力が等方的であると仮定しないため、乱流運動エネルギー（TKE）生成の問題を回避します。
初期条件 CFDシミュレーションにおける初期条件として乱流運動エネルギー（TKE）を正確に設定することは、特に高レイノルズ数シミュレーションにおいて、流れを正確に予測するために重要である。以下に、滑らかなダクトの例を示す。 k = 3 2 （ U 私 ） 2 、 {\displaystyle k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},} I は以下に示す初期乱流強度[%]、U は初期速度の大きさです。管内流れの例として、管径に基づく レイノルズ数を以下に示します。 私 = 0.16 R e − 1 8 。 {\displaystyle I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.}
ここで、l は乱流または渦の長さスケールであり、以下に示すとおりです。また、c μ はk – ε モデルのパラメータであり、その値は通常 0.09 です。
ε = c μ 3 4 k 3 2 l − 1 。 {\displaystyle \varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.}
乱流の長さスケールは次のように 推定 できます。l = 0.07 L 、 {\displaystyle l=0.07L,} Lは 特性長さ である。内部流れの場合、これは入口ダクト（またはパイプ）の幅（または直径）または水力直径の値をとる可能性がある。[ 5 ]
参考文献 ↑ Pope, SB (2000). Turbulent Flows Cambridge University Press . pp. 122–134 . ISBN 978-0521598866 。 ↑ Baldocchi, D. (2005),講義 16、風と乱流、パート 1、表面境界層：理論と原理 、生態系科学部門、環境科学、政策および管理学部、カリフォルニア大学バークレー校、カリフォルニア州、アメリカ合衆国。 ↑ ブシネスク、合弁会社 （1877）。 「テオリ・ドゥ・レクルマン・トゥールビヨン」。 メム。 Présentés Par Divers Savants Acad.科学。研究所神父 様 23 ： 46～ 50 ↑ Laurence, D. (2002). "Applications of Reynolds Averaged Navier Stokes Equations to Industrial Flows". In van Beeck, JPAJ; Benocci, C. (eds.). Introduction to Turbulence Modelling, Held March 18–22, 2002 at Von Karman Institute for Fluid Dynamics . Sint-Genesius-Rode : Von Karman Institute for Fluid Dynamics . ↑ Flórez Orrego 他 (2012). 「単相円錐形らせんコイル式熱交換器の実験および CFD 研究: 経験的相関」 . ECOS 2012 会議録 – 第 25 回エネルギーシステムの効率、コスト、最適化、シミュレーションおよび環境影響に関する国際会議、2012 年 6 月 26 ～ 29 日、イタリア、ペルージャ . ISBN 978-88-6655-322-9 。
さらに読む CFD Onlineにおける乱流運動エネルギー。 Absi, R. (2008). "モデル化されたk 方程式の解析解". Journal of Applied Mechanics . 75 (44501): 044501. Bibcode : 2008JAM....75d4501A . doi : 10.1115/1.2912722 . Lacey, RWJ; Neary, VS; Liao, JC; Enders, EC; Tritico, HM (2012). 「IPOSフレームワーク：実験室実験から河川への魚類の遊泳能力の関連付け」River Res. Applic. 28 (4), pp. 429–443. doi:10.1002/rra.1584. Wilcox, DC (2006). 「CFDのための乱流モデリング」。第3版。DCW Industries、ラ・カナダ、米国。ISBN 978-1-928729-08-2。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt=\sigma _{u}^{2}\geq 0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4d0e73411450d790b916d250b02f1a34ebc175)
