完全にポジティブなマトリックス

数学において、全正行列とは、すべての小行列項が正である正方行列である。つまり、すべての正方部分行列の行列式は正の数である。^[1] 全正行列はすべての要素が正であるため、正行列でもある。また、すべての主小行列項が正である（および正の固有値）。対称全正行列は、したがって正定値でもある。全非負行列も同様に定義されるが、すべての小行列項が非負（正またはゼロ）でなければならない。一部の著者は、「全正」という言葉を、すべての全非負行列を含むものとして使用している。

をn × n行列 とします。次の形式の任意のp×pサブ行列を考えます 。 ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$

${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}\leq n.}$

Aが完全正行列となるのは、次の場合である: ^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

この方法で形成できる すべてのサブマトリックスに対して。${\displaystyle \mathbf {B} }$

歴史的に全肯定理論の発展につながった研究には以下のものが含まれる: ^[2]

• 完全に正であるカーネルと行列のスペクトル特性、
• グリーン関数が完全に正である常微分方程式（1930年代半ばにMGクラインと数人の同僚によって）
• 変化の減少特性（1930年にIJシェーンベルクによって開始）
• ポリア周波数関数 (1940 年代後半から 1950 年代初頭にかけて IJ Schoenberg によって考案)。

たとえば、ノードが正で増加する Vandermonde 行列は、完全に正の行列です。

• 複合マトリックス

• アラン・ピンカス（2009年）『Totally Positive Matrices』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521194082

• 完全に正の核と行列のスペクトル特性、アラン・ピンカス
• 標準基底と全正値行列のパラメータ化、アルカディ・ベレンシュタイン
• テンソル積多重度、標準基底、および全正値多様体 (2001)、A. Berenstein、A. Zelevinsky