総変動は減少している

数値計算法において、全変動減少（TVD）は、双曲型偏微分方程式を解くために使用される特定の離散化スキームの特性です。この方法の最も注目すべき応用は、数値流体力学です。TVDの概念は、Ami Hartenによって導入されました。^[1]

次のような双曲型移流方程式のような偏微分方程式で記述されるシステムでは、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

総変動（TV）は次のように表される。

${\displaystyle TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,}$

離散ケースの全変動は、

${\displaystyle TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.}$

どこ。 ${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$

数値法が全変動減少法（TVD） と呼ばれるのは、

${\displaystyle TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).}$

数値スキームは、次の特性が維持される場合、単調性保存型であると言われます。

• が空間内で単調に増加（または減少）する場合、 も同様です。${\displaystyle u^{n}}$${\displaystyle u^{n+1}}$

Harten 1983は数値スキームについて以下の性質を証明した。

• モノトーンの配色はTVDであり、
• TVD 方式は単調性を維持します。

計算流体力学では、フィールド変数「 」の変化が不連続である場合に、誤解を招くような振動を起こさずに、より鮮明な衝撃予測を捕捉するために TVD スキームが使用されます。変化を捕捉するには細かいグリッド (非常に小さい) が必要であり、計算が重くなり、非経済的になります。 中心差分スキーム、風上スキーム、ハイブリッド差分スキーム、およびべき乗法則スキームで粗いグリッドを使用すると、誤った衝撃予測が得られます。TVD スキームは、粗いグリッドでより鮮明な衝撃予測を可能にして計算時間を節約します。また、スキームは単調性を維持するため、ソリューションに誤った振動はありません。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \Delta x}$

定常状態の1次元対流拡散方程式を考える。

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;}$、

ここで、 は密度、は速度ベクトル、は輸送される特性、は拡散係数、 は特性の生成に関与するソース項です。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle S_{\phi}}$${\displaystyle \phi}$

この特性のフラックスバランスを制御体積について計算すると、

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot ( \Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \;}$

ここがコントロールボリュームの表面の法線です。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$

ソース項を無視すると、方程式はさらに次のように簡略化されます。

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

仮定すると

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ そして ${\displaystyle A_{r}=A_{l},}$

この式は次のように要約される。

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.}$

言う、

${\displaystyle F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};}$

図から:

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};}$

方程式は次のようになります:この問題では、連続方程式も同等の形式のいずれかで満たされる必要があります: $${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}( \phi _{P}-\phi _{L});}$$

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.}$

拡散率が均一な性質であり、格子間隔が等しいと仮定 すると、

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,}$

となる。この式はさらに次のように簡約される。上の式は次のように書ける。ここではペクレ数である。$${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$$${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).}$$$${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.}$

全変動減少スキーム^{[2] [3]}では、離散化方程式に代入される およびの値について次のように仮定しています。${\displaystyle \phi _{r}}$${\displaystyle \phi _{l}}$

${\displaystyle \phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

ここでペクレ数であり、は決定すべき重み関数である。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

ここで、は上流を指し、は の上流を指し、 は下流を指します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle UU}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D}$

流れが正方向（つまり左から右）の場合、は重み関数であり、流れが右から左への負方向の場合、は重み関数である ことに注意してください。つまり、${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle f^{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

流れが正の方向の場合、ペクレ数は正であり、項 となるため、関数 はおよび の仮定において何の役割も果たしません。同様に、流れが負の方向の場合、 は負であり、項 となるため、関数 はおよびの仮定において何の役割も果たしません。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle (P-|P|)=0}$${\displaystyle f^{-}}$${\displaystyle \phi _{r}}$${\displaystyle \phi _{l}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P+|P|)=0}$${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle \phi _{r}}$${\displaystyle \phi _{r}}$

したがって、流れの方向に応じてプロパティの値を考慮し、重み付け関数を使用してソリューションの単調性を実現し、不要なショックのない結果を生成します。

単調方式は非物理的な解を生成しないため、工学的および科学的問題を解決するのに魅力的です。ゴドゥノフの定理は、単調性を維持する線形方式はせいぜい 1 次精度しかないことを証明しています。高次の線形方式は滑らかな解に対してはより正確ですが、TVD ではなく、不連続性や衝撃が発生する場所では誤った振動 (揺れ) が発生する傾向があります。これらの欠点を克服するために、さまざまな高解像度の非線形手法が開発されており、多くの場合、フラックス/スロープ リミッターが使用されています。

• フラックスリミッター
• ゴドゥノフの定理
• 高解像度スキーム
• MUSCLスキーム
• セルゲイ・K・ゴドゥノフ
• 総変動

• Hirsch, C. (1990)、「内部流れと外部流れの数値計算」、第 2 巻、Wiley。
• Laney, CB (1998)、「計算ガスダイナミクス」、ケンブリッジ大学出版局。
• Toro, EF (1999)、「Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics」、Springer-Verlag。
• Tannehill, JC、Anderson, DA、およびPletcher, RH (1997)、「計算流体力学および熱伝達」、第2版、Taylor & Francis。
• Wesseling, P. (2001)、「計算流体力学の原理」、Springer-Verlag。
• Anil W. Date著『計算流体力学入門』、ケンブリッジ大学出版局。