動的非観測効果モデル

動的観測不能効果モデルは、パネル分析のための計量経済学で使用される統計モデルです。従属変数の以前の値が現在の値に与える影響と、観測不能な説明変数の存在によって特徴付けられます。

ここでの「動的」という用語は、従属変数の過去の履歴への依存性を意味します。これは通常、経済学の「状態依存性」をモデル化するために使用されます。たとえば、今年仕事を見つけられない人にとって、来年仕事を見つけるのはより困難になります。なぜなら、現在仕事がないことは潜在的な雇用主にとってマイナスのシグナルとなるからです。「観察されない効果」とは、説明変数の 1 つまたはいくつかが観察されないことを意味します。たとえば、あるアイスクリームのフレーバーを別のフレーバーよりも消費選択することは個人の好みの関数ですが、好みは観察されません。

パネルデータトービットモデル[ ^{1] [2]}では、結果が過去の結果履歴に部分的に依存する場合、このトービットモデルは「動的」と呼ばれます。たとえば、今年高給の仕事を見つけた人は、来年高給の仕事を見つけるのが容易になります。なぜなら、今年高給の仕事に就いているという事実は、潜在的な雇用主にとって非常に肯定的なシグナルとなるからです。このタイプの動的効果の本質は、結果の状態依存性です。ここでの「観察不可能な効果」とは、個人の結果を部分的に決定するが、データでは観察できない要因を指します。たとえば、人の能力は就職活動において非常に重要ですが、研究者にとっては観察できません。典型的な動的観察不可能な効果トービットモデルは、次のように表すことができます。 ${\displaystyle Y_{i,t}}$${\displaystyle Y_{i,0},\ldots ,Y_{t-1}}$

${\displaystyle Y_{i,t}=Y_{i,t}^{1}[Y_{i,t}>0];}$

${\displaystyle Y_{i,t}=z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i}+u_{i,t};}$

${\displaystyle c_{i}\mid y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim F(y_{i,0}x_{i});}$

${\displaystyle u_{i,t}\mid z_{i,t},y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim N(0,1).}$

この特定のモデルでは、 は動的効果部分であり、 は観測されない効果部分であり、その分布は個体iの初期結果と個体 i のいくつかの外生的特徴によって決定されます。${\displaystyle \rho y_{i,t-1}}$${\displaystyle c_{i}}$

この設定に基づいて、尤度関数は次のように表される。 ${\displaystyle \{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}\int f_{\theta }(c_{i}\mid y_{i,0},x_{i})\left[\prod _{t=1}^{T}{\Bigl (}1[y_{i,t}=0][1-\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}>0]{\frac {\varphi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}{\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}}{\biggr )}\right]\,dc_{i}}$

初期値については、尤度関数の構築において、それらを定数として扱うか、分布を課して無条件尤度関数を計算するかの 2 つの異なる方法があります。しかし、尤度関数で初期値を扱うためにどちらの方法を選択した場合でも、最大尤度推定 (MLE) によってモデルを推定するときに、尤度関数内の積分を取り除くことはできません。期待値最大値 (EM) アルゴリズムは、通常、この計算問題に対する優れたソリューションです。^[3] MLE からの一貫した点推定に基づいて、平均部分効果 (APE) ^[4]を同様に計算できます。^[5]${\displaystyle \{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}}$

バイナリ従属変数を持つ典型的な動的非観測効果モデルは次のように表される^[6]。

${\displaystyle P(y_{it}=1\mid y_{i,t-1},\dots ,y_{i,0},z_{i},c_{i})=G(z_{it}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}$

ここで、c _iは観測不可能な説明変数、z _{it はc i}に対して外生的な条件付き説明変数、G(∙) は累積分布関数です。

このタイプのモデルでは、経済学者は状態の依存性を特徴付けるために使用されるρに特別な関心を持っています。たとえば、y _{i,t は}女性の働くかどうかの選択であり、z_にはi番目の個人の年齢、教育レベル、子供の数、およびその他の要因が含まれます。c i_は経済学者が観察できない個人固有の特性です。^{[7]習慣形成またはその他の理由により、期間}tでの労働選択は期間t −1での選択に依存すると推測するのが妥当です。この依存性はパラメーターρ によって特徴付けられます。

δとρ を一貫して推定するためのMLEベースのアプローチはいくつかあります。最も簡単な方法は、y _{i,0 を}非確率的として扱い、c _{i が}z _iと独立していると仮定することです。次に、P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i , c _i ) をc _iの密度に対して積分することにより、条件付き密度 P(y _i,t , y _i,t-1 , ... , y _i,1 |y _i,0 , z _i ) を取得できます。条件付き MLE の目的関数は、次のように表すことができます: log (P (y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i ))。${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}}$

y _{i,0 を}非確率的として扱うことは、 y _i ,0 がz _iに対して独立していることを暗黙的に仮定することになります。しかし、現実にはほとんどの場合、y _{i,0 は}c _iに依存し、c _iもz _iに依存します。上記のアプローチを改良したものは、 ( c _i , z _i )を条件とするy _i,0の密度を仮定し、条件付き尤度P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _t,1 ,y _i,0 | c _i , z _i )を取得することです。この尤度をz _iを条件とするc _iの密度に対して積分すると、条件付き密度P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 , y _i,0 | z _i )を取得できます。条件付きMLE ^{[8]の目的関数は}log(P(y _i,t ,y _i,t-1 ,…,y _i,1 | y _i,0 ,z _i ))である。${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}}$

（ δ、ρ ）の推定値と対応する分散に基づいて、係数の値を検定し^[9]、平均部分効果を計算することができる。^[10]