音楽のリズムの幾何学

『音楽のリズムの幾何学：何が「良い」リズムを良いものにするのか？』は、リズムとドラムビートの数学に関する本です。ゴッドフリード・トゥーサンによって書かれ、 2013年にチャップマン＆ホール/CRCによって出版され、2020年に第2版が増補されました。アメリカ数学会の基本図書館リスト委員会は、この本を学部生の数学図書館に含めることを提案しました。 ^[1]

ゴッドフリード・トゥーサン（1944–2019）は、マギル大学とニューヨーク大学でコンピュータサイエンスの教授を務めたベルギー系カナダ人のコンピュータ科学者です。彼の主な専門分野は計算幾何学でしたが、^[2]ジャズドラマーでもあり、^[3]音楽と音楽リズムの数学に長年興味を持ち、2005年からはマギル大学シューリック音楽学校の音楽メディアとテクノロジーの学際研究センターの研究員として所属していました。^[2] 2009年には、音楽リズムの研究を進めるため、ラドクリフフェローとしてハーバード大学を訪れました。 ^{[2] [3]}

リズムを数学的に研究するために、トゥーサンは、個々のビートの音や強さ、ビートの位相、階層構造のリズム、あるリズムから別のリズムに変化する音楽の可能性など、音楽的に重要な多くの特徴を抽象化します。残った情報は、各小節のビート（等間隔の周期的な時間シーケンス）を、オンビート（音楽演奏でビートが強調される時間）またはオフビート（ビートがスキップされるか弱く演奏される時間）として記述します。これは、回転によるバイナリシーケンスの同値クラスであるネックレスとして組み合わせ的に表現でき、真のバイナリ値はオンビートを表し、偽はオフビートを表します。あるいは、トゥーサンは、凸多角形、つまり正多角形の頂点のサブセットの凸包として幾何学的表現を使用し、包の頂点はビートが演奏される時間を表します。対応する多角形が合同である場合、2つのリズムは同じであるとみなされます。^{[4] [5]}

一例として、評論家のウィリアム・セサレス（音楽理論家でありエンジニアでもある）は、トレシージョのリズムについてこのタイプの表現を提示している。トレシージョでは、8拍子の小節から3拍が打たれ、各拍の間に2つの長いギャップと1つの短いギャップがある。トレシージョは、正八面体の3つの頂点から形成される二等辺三角形として幾何学的に表すことができ、三角形の2つの長い辺と1つの短い辺が拍間のギャップに対応する。図では、トレシージョ小節の通常の開始、つまり2つの長いギャップの最初の前の拍が最上部の頂点にあり、拍の時系列の進行は、多角形の周りの頂点の時計回りの順序に対応している。^[5]

この本では、この方法を使用して、ワールドミュージックの既存のリズムを研究および分類し、それらの数学的特性（たとえば、これらのリズムの多くは、トレシージョのように拍子の間隔がほぼ均一であるが、完全に均一ではないという事実）を分析し、リズムと小節内の任意の数の拍に対して同様のほぼ均一間隔の拍パターンを生成できるアルゴリズムを考案し、リズム間の類似性を測定し、類似性を使用してリズムを関連するグループにクラスター化し、最終的には数式によって音楽で使用するためのリズムの適合性を捉えようとしています。^{[5] [6]}

トゥーサンは、この本を入門用コンピュータプログラミングコースの補助教材として使い、学生にプログラミング課題を与えた。^[5]数学や音楽理論の知識があまりない読者でも理解しやすく、^{[4] [7]}セセレスは「音楽に興味のある学生にとって、数学とコンピュータサイエンスのアイデアの素晴らしい入門書になるだろう」と書いている。^[5]評論家のラッセル・ジェイ・ヘンデルは、この本は娯楽として読むだけでなく、数学を学ぶ学生の上級選択科目の教科書や、数学者ではない人のための数学の一般教育コースの教科書にもなり得ると示唆している。^[1]民族音楽学、音楽史、音楽心理学、音楽理論、作曲の専門家にとっても興味深い内容である。^[7]

用語の誤用や「音楽理論の核心に対するナイーブさ」、リズムの視覚的表現と聴覚的知覚の不一致などに関する懸念があるにもかかわらず、音楽理論家マーク・ゴッサムはこの本を「ピッチに関するより発達した理論的文献に遅れをとっている分野への重要な貢献」と呼んでいる。^[7]また、評論家のフアン・G・エスクデロは、この本の数学的抽象化が音楽と音楽リズムの多くの重要な側面を見逃しており、現代クラシック音楽の多くのリズム的特徴が見落とされていると不満を述べているものの、「この種の学際的な取り組みは必要である」と結論付けている。^[4]評論家のイルハンド・イズミルリはこの本を「楽しく、情報に富み、革新的」と評している。^[6]ヘンデルは、この本が資料を決定的で完成されたものとしてではなく、推測的で探究的なものとして提示していることは「まさに[数学の]学生が必要としているものである」と付け加えている。^[1]