テイラー・マッコール流

テイラー・マッコール流とは、固体円錐に付着した円錐状衝撃波の後ろの定常流のことである。この流れは、1933年にこの流れを記述したGIテイラーとJWマッコールにちなんで名付けられ、彼らはテオドール・フォン・カルマンの以前の研究に導かれた。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

半垂直な角度を持つ固体円錐の周りを流れる定常超音速流について考えてみましょう。${\displaystyle \chi }$この状況では円錐状の衝撃波が形成され、衝撃波の頂点は固体円錐の頂点に位置する。もしこれが二次元の問題、すなわちくさびを通過する超音速流の場合であれば、流入流はある角度だけ偏向するだろう。${\displaystyle \chi }$衝撃波を通過すると、衝撃波の後ろの流線がくさびの側面と平行になるようにします。このような単純な流線の反転は、3 次元の場合には不可能です。衝撃波を通過した後、流線は湾曲し、漸近的にのみ円錐のジェネレーターに近づきます。流線の湾曲は、衝撃波で生じる増減に加えて、密度の漸増と速度の減少を伴います。^{[ 4 ]}

斜め衝撃波の直後の速度の方向と大きさは、衝撃波極線の弱分岐によって与えられる。これは特に、入射マッハ数の各値に対して、${\displaystyle M_{1}}$最大値が存在する${\displaystyle \chi _{\mathrm {max} }}$衝撃極線が解を与えない場合、円錐衝撃波は固体表面から剥離します（マッハ反射を参照）。これらの剥離ケースはここでは考慮しません。斜め円錐衝撃波のすぐ後ろの流れは通常超音速ですが、${\displaystyle \chi }$に近い${\displaystyle \chi _{\mathrm {max} }}$音速以下になる場合もある。衝撃波の後ろの超音速流は、下流に進むにつれて音速以下になる。

入射流線はすべて円錐状衝撃波と同じ角度で交差するため、衝撃波の強度は一定です。これは特に、衝撃波を横切るエントロピーのジャンプも全体を通して一定であることを意味します。この場合、衝撃波の後ろの流れはポテンシャル流です。^{[ 4 ]}したがって、速度ポテンシャルを導入することができます。${\displaystyle \varphi }$そのため${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$問題には長さスケールがなく、明らかに軸対称であるため、速度場は${\displaystyle \mathbf {v} }$そして圧力場${\displaystyle p}$極角の関数になる${\displaystyle \theta }$（球面座標の原点のみ）${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$は頂点に位置するとみなされる。これは、

${\displaystyle \varphi =rf(\theta ),\quad v_{r}=f(\theta ),\quad v_{\theta }=f'(\theta ),\quad v_{\phi }=0,\quad p=g(\theta ).}$

定常ポテンシャル流は方程式^{[ 4 ]によって支配される。}

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0,}$

音速が${\displaystyle c=c(v)}$速度の大きさの関数として表される${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$速度場の上記の仮定形式を支配方程式に代入すると、一般的なテイラー・マッコール方程式が得られる。

${\displaystyle (c^{2}-f'^{2})f''+c^{2}\cot \theta f'+(2c^{2}-f'^{2})f=0,\quad c=c(f^{2}+f'^{2}).}$

多方性ガスの場合 、方程式は大幅に簡略化され、${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$[ ^{4 ]すなわち}、

${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}\left(1-{\frac {f^{2}+f'^{2}}{2h_{0}}}\right),}$

どこ${\displaystyle \gamma }$比熱比と${\displaystyle h_{0}}$は停滞エンタルピーです。この式を一般的なテイラー・マッコール方程式に代入し、無次元関数を導入すると、${\displaystyle F(\theta )=f(\theta )/v_{\mathrm {max} }}$、 どこ${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {2h_{0}}}}$（真空中に流れ出る際のポテンシャル流の速度）から、ポリトロピック気体の場合、テイラー・マッコール方程式が得られます。

${\displaystyle \left[{\frac {\gamma +1}{2}}F'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}(1-F^{2})\right]F''=(\gamma -1)(1-F^{2})F+{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta (1-F^{2})F'-\gamma FF'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta F'^{3}.}$

方程式は以下の条件を満たさなければならない。${\displaystyle F'(\chi )=0}$（固体表面への貫通なし）また、衝撃波の後ろの条件にも対応しなければならない。${\displaystyle \chi =\psi }$、 どこ${\displaystyle \psi }$は衝撃波円錐の半角であり、与えられた流入マッハ数に対する解の一部として決定する必要がある。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle \gamma }$テイラー・マッコール方程式には既知の明示的な解がなく、数値積分によって解かれる。

円錐角が非常に小さい場合、流れはほぼあらゆる場所で平行になり、その場合、 1932年にセオドア・フォン・カルマンとノートン・B・ムーアによって示されたように、厳密解を見つけることができます。 ^{[ 2 ]}円筒座標では、解がより明確になります。${\displaystyle (\rho ,\varpi ,z)}$（${\displaystyle \rho }$ここからの半径距離は${\displaystyle z}$（軸、密度ではない）。${\displaystyle U}$は流入速度であり、その場合、次のように書きます。${\displaystyle \varphi =Uz+\phi }$、 どこ${\displaystyle \phi }$これは小さな修正であり、

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)-\beta ^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0,\quad \beta ^{2}=M^{2}-1}$$

どこ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$は流入流のマッハ数です。速度成分はのみに依存すると予想されます。${\displaystyle \theta }$つまり、${\displaystyle \rho /z=\tan \theta }$円筒座標では、つまり、${\displaystyle \phi =zg(\xi )}$、 どこ${\displaystyle \xi =\rho /z}$は自己相似座標である。支配方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle \xi (1-\beta ^{2}\xi ^{2})g''+g'=0.}$

円錐の表面${\displaystyle \xi =\tan \chi \approx \chi }$私たちは持っていなければならない${\displaystyle v_{\rho }/v_{z}=(\partial \phi /\partial \rho )/(U+\partial \phi /\partial z)\approx (1/U)\partial \phi /\partial \rho =\chi }$そして結果として${\displaystyle g'=U\chi }$。

小角近似では、弱い衝撃波コーンは次のように与えられる。${\displaystyle z=\beta \rho }$の自明な解決策${\displaystyle g}$これは衝撃波円錐の上流における均一な流れを表し、衝撃波の後ろの固体表面上の境界条件を満たす非自明な解は次のように与えられる。

${\displaystyle g(\xi )=U\chi ^{2}\left({\sqrt {1-\beta ^{2}\xi ^{2}}}-\cosh ^{-1}{\frac {1}{\beta \xi }}\right).}$

したがって、我々は^{[ 4 ]}

${\displaystyle \varphi =Uz+U\chi ^{2}\left({\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}-z\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }}\right)}$

対数特異点を示し、${\displaystyle \rho \to 0.}$速度成分は次のように与えられる。

${\displaystyle v_{z}=UU\chi ^{2}\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }},\quad v_{\rho }={\frac {U\chi ^{2}}{\rho }}{\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}.}$

円錐の表面にかかる圧力${\displaystyle p_{s}}$判明した${\displaystyle p_{s}-p_{\infty }=\rho _{\infty }U^{2}\chi ^{2}[\ln(2/\beta \chi )-1/2]}$（この式では、${\displaystyle \rho _{\infty }}$（は流入するガスの密度である）。

• カルマン・ムーア理論