テイトのアルゴリズム

楕円曲線の理論において、テイトのアルゴリズムは、楕円曲線Eの積分モデル、またはより一般的には代数体、および素数または素イデアルp を入力として受け取ります。このアルゴリズムは、 Eの導体におけるpの指数f _p 、 pにおける簡約のタイプ、局所インデックスを 返します。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle c_{p}=[E(\mathbb {Q} _{p}):E^{0}(\mathbb {Q} _{p})],}$

ここで、 はpを法とする縮小が非特異点となる-点のグループです。また、アルゴリズムは、指定された積分モデルがpで最小であるかどうかを判定し、そうでない場合は、判別式の pでの評価が最小となる積分係数を持つ積分モデルを返します。${\displaystyle E^{0}(\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

テイトのアルゴリズムは、小平記号またはネロン記号によって与えられる特異ファイバーの構造も与えます。これについては楕円面を参照してください。これにより、導体Eの指数f _{p が}決定されます。

残余類体の特性が 2 または 3 でない場合、Tate のアルゴリズムは大幅に簡略化されます。この場合、型とcおよびf は、 jと Δ (以下で定義)の値から読み取ることができます。

テイトのアルゴリズムは、 ネロン (1964) による楕円曲線のネロン モデルの記述を改良したものとして、 ジョン テイト(1975) によって導入されました。

曲線の方程式のすべての係数が、完全剰余体Kと素数πによって生成される最大イデアルを持つ完全な離散値環 Rにあると仮定します。楕円曲線は、次の方程式で与えられます。

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.}$

定義する：

${\displaystyle v(\Delta )=}$におけるのp進値、つまり の素因数分解におけるの指数、または の場合は無限大。${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta =0}$

${\displaystyle a_{i,m}=a_{i}/\pi ^{m}}$

${\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2}}$

${\displaystyle b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}^{}}$

${\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6}}$

${\displaystyle b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+4a_{2}a_{6}+a_{2}a_{3}^{2}-a_{4}^{2}}$

${\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4}}$

${\displaystyle c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}$

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}+9b_{2}b_{4}b_{6}}$

${\displaystyle j=c_{4}^{3}/\デルタ .}$

• ステップ 1: π が Δ を割り切れない場合、タイプは I ₀、c =1、f =0 になります。
• ステップ 2: π が Δ を割り切れるが c _{4 を}割り切れない場合、タイプは I _vとなり、v = v(Δ)、c =v、f =1 となります。
• ステップ3. それ以外の場合は、πがa ₃、a ₄、a ₆を割り切るように座標を変更します。π ^{2 が}a _{6 を}割り切れない場合、タイプはII、c =1、f =v(Δ)です。
• ステップ4. それ以外の場合、π3がb8を割り切れない場合^、タイプ_はIII 、c =2、f =v(Δ)−1です。
• ステップ5. それ以外の場合、Q _1を多項式とする

${\displaystyle Q_{1}(Y)=Y^{2}+a_{3,1}Y-a_{6,2}.}$。

π ^{3 が}b ₆を割り切れない場合、タイプは IV であり、 K 内に 2 つの根がある場合はc =3 、K の外部に 2 つの根がある場合は 1 であり、f =v(Δ)−2 です。${\displaystyle Q_{1}(Y)}$

• ステップ6. それ以外の場合は、πがa ₁とa _{2 を}割り切り、π ^{2 が}a ₃とa _{4 を}割り切り、π ^{3 が}a _{6 を}割り切るように座標を変更します。Pを多項式とします。

${\displaystyle P(T)=T^{3}+a_{2,1}T^{2}+a_{4,2}T+a_{6,3}.}$

π を法とする 3 つの異なる根を持つ場合、その型は I ₀ ^*、f =v(Δ)−4、cは 1+( KにおけるPの根の数) です。${\displaystyle P(T)}$

• ステップ 7. P に1 つの単根と 1 つの二重根がある場合、その型は I _ν ^*です(ν>0、f =v(Δ)−4−ν、c =2 または 4 の場合)。このケースを処理するための「サブアルゴリズム」があります。
• ステップ8. Pに三重根がある場合、変数を変更して三重根が0になるようにします。つまり、π ^{2 は}a ₂を割り、π ^{3 は}a ₄を割り、π 4^はa _{6 を}割ります。Q _{2 を}多項式とします。

${\displaystyle Q_{2}(Y)=Y^{2}+a_{3,2}Y-a_{6,4}.}$。

π を法とする 2 つの異なる根を持つ場合、その型は IV ^*、f =v(Δ)−6 であり、根がKに含まれる場合はcは 3 、それ以外の場合は 1 になります。${\displaystyle Q_{2}(Y)}$

• ステップ 9. に二重根がある場合、変数を変更して二重根が 0 になるようにします。すると、π ^{3 は}a _{3 を}割り切り、π ^{5 は}a _{6 を}割り切ります。π ^{4 が}a _{4 を}割り切らない場合は、タイプは III ^*であり、f =v(Δ)−7 およびc = 2 です。${\displaystyle Q_{2}(Y)}$
• ステップ10。そうでない場合、π ^6がa _6を割り切れない場合、タイプはII ^*であり、f =v(Δ)−8、c = 1です。
• ステップ 11. それ以外の場合、方程式は最小ではありません。各a _{n を}π ⁿで割り、ステップ 1 に戻ります。

このアルゴリズムは、 PARI/GPコンピュータ代数システムの代数的数体に対して実装されており、関数 elllocalred を通じて利用できます。

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