サリバン予想

数学において、サリバン予想または分類空間からの写像に関するサリバン予想は、デニス・サリバンのホモトピー理論の研究によって促されたいくつかの結果や予想のいずれかを指す。基本的なテーマと動機は、有限群の群作用における不動点集合に関する。しかし、最も基本的な定式化は、そのような群の分類空間に関するものである。大まかに言えば、そのような空間を有限CW複体に非自明な方法で連続的に写像することは困難である。サリバン予想のそのようなバージョンは、ヘインズ・ミラーによって最初に証明された。^[1]具体的には、1984年にミラーは、からへの基点保存写像の、コンパクト開位相を持つ関数空間が弱縮約可能であることを証明した。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X}$

これは、X から写像の関数空間→への写像（必ずしも基底点を保存しない）が、 の点をその像がである定数写像に送ることによって与えられるが、これが弱同値であるというステートメントと同等です。 写像空間はホモトピー不動点集合の例です。具体的には、はへの自明な作用によって作用する群のホモトピー不動点集合です。一般に、空間 に作用する群について、ホモトピー不動点は、の普遍被覆から への写像の写像空間の不動点であり、は でによって与えられる-作用の下で はの写像をに送ることによって作用します。から単一点への -同変写像は、不動点から に作用するのホモトピー不動点への自然な写像 η: →を誘導します。ミラーの定理は、有限次元 CW 複体への自明な -作用に対して η が弱同値であるというものです。彼の証明の重要な要素と動機は、スティーンロッド代数上の不安定加群としてのホモロジーに関するグンナー・カールソンの結果である。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle F(BG,X)}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(BG,X)}$${\displaystyle F(BG,X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle EG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F(EG,X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(EG,X)}$${\displaystyle gfg^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle EG}$${\displaystyle *}$${\displaystyle X^{G}=F(*,X)^{G}}$${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BZ/2}$

ミラーの定理は、 への作用が非自明であることが許されるサリバンの予想のバージョンに一般化される。 ^[3]で、サリバンは、群 に対するA. バウスフィールドとD. カンによる特定の p-完了手順の後で、 η は弱い同値であると予想した。この予想は述べられているとおり間違っていたが、正しいバージョンがミラーによって与えられ、ドワイヤー-ミラー-ナイゼンドルファー^[4]、カールソン^[5]、およびジャン・ランヌ^[6]によって独立に証明され、 の位数が素数 p のべき乗であるときに自然な写像→は弱い同値であり、 は のバウスフィールド-カン p-完了を表すことが示された。ミラーの証明は不安定なアダムススペクトル列を含み、カールソンの証明はシーガル予想の肯定的解決を使用し、完成前のホモトピー不動点に関する情報も提供し、ランヌの証明はT関手を含む。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle G=Z/2}$${\displaystyle (X^{G})_{p}}$${\displaystyle F(EG,(X)_{p})^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X)_{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$

• ゴットリーブ、ダニエル H. (2001) [1994]、「サリバン予想」、数学百科事典、EMS プレス
• 本の抜粋
• J. ルリーのコースノート