レイリー問題

流体力学において、レイリー問題はストークス第一問題とも呼ばれ、無限に長い板が静止状態から突然動くことで生じる流れを決定する問題であり、レイリー卿とジョージ・ストークス卿にちなんで名付けられました。これは、ナビエ・ストークス方程式の正確な解を持つ最も単純な非定常問題の一つと考えられています。半無限板の衝撃運動はキース・スチュワートソンによって研究されました。^[1]

最初はどこでも静止している無限の流体領域にある無限に長い板が突然一定速度で方向に動くと仮定する。非圧縮ナビエ・ストークス方程式は次のように表される^{[2] [3]。}${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

ここで は動粘性である。壁面の 初期状態と滑りのない状態は${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,}$

最後の条件は、 の動きが無限遠では感じられないという事実によるものです。流れはプレートの動きのみによるもので、圧力勾配は課せられません。 ${\displaystyle y=0}$

全体として、この問題は1次元熱伝導問題に似ている。したがって、自己相似変数を導入することができる^[4]

${\displaystyle \eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}}$

これを偏微分方程式に代入すると常微分方程式になる。

${\displaystyle f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0}$

境界条件付き

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

上記の問題の解は相補誤差関数で表すことができる。

${\displaystyle u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)}$

プレートに作用する単位面積あたりの力は

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}}$

壁面運動にステップ境界条件を使用する代わりに、壁面の速度を任意の時間の関数として規定することができる。つまり、 。その場合、解は^{[5]で与えられる。}${\displaystyle U=f(t)}$

${\displaystyle u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y} {(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .}$

半径 の無限に長い円筒が、時刻 に突然角速度 で回転し始めるとします。このとき、方向 の速度は次のように表されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}}$

ここで は第2種の修正ベッセル関数である。 となると、解は剛体渦の解に近づく。円筒に働く単位面積あたりの力は ${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega }$

ここで、第一種修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle I_{0}}$

シリンダが一定速度で軸方向に滑り始めるときにも正確な解が得られる。シリンダ軸が方向にあるとすると、解は次のように与えられる。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.}$

• ストークス問題