正規分布 における様々な評価方法の比較（標準偏差 、累積パーセンテージ、パーセンタイル 値、zスコア、Tスコア など）統計学 において、標準スコア （またはz スコア）生のスコア （つまり、観測値またはデータポイント）の値が、観測または測定対象の平均値からどれだけ 標準偏差 分だけ上回っているか、または下回っているかを示す値です。平均値より高い生のスコアは正の標準スコアを持ち、平均値より低い生のスコアは負の標準スコアを持ちます。
これは、個々の生得点から母集団平均 を差し引き、その差を母集団 標準偏差で割ることによって算出されます。生得点を標準得点に変換するこのプロセスは、標準化 または正規化と呼ばれます（ただし、「正規化」は多くの種類の比率を指す場合があります。詳しくは 「正規化
標準スコアは一般的にz スコアz値 、z統計量 、正規スコア 、標準化変数 、高エネルギー物理学 におけるプル などの同義語が使用されています。[ 1 ] [ 2 ]
zスコアを計算するには、データポイントが属する母集団全体の平均と標準偏差を知る必要があります。母集団から観測値のサンプル しか得られない場合は、サンプル平均とサンプル標準偏差を使用した同様の計算によりt 統計量
計算 母集団平均と母集団標準偏差が分かっている場合、生スコア x は [ 3 ]
z = x − μ σ {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}
どこ：
z の絶対値は、生の得点x と母平均との間の距離を標準偏差単位で表したものです。生の得点が平均より小さい場合はz は負の値になり、大きい場合は正の値になります。
この式を用いてz 値を計算するには、標本平均や標本標準偏差ではなく、母集団平均と母集団標準偏差を用いる必要があります。しかし、母集団全体の測定を行う標準化テスト などの場合を除き、母集団の真の平均と標準偏差を知ることは、多くの場合非現実的な期待です。
母平均と母標準偏差が不明な場合、標本平均と標本標準偏差を母集団値の推定値として使用して標準スコアを推定することができます。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
これらの場合、z スコアは次のように与えられます。
z = x − x ¯ S {\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}
どこ：
x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} 平均値 です。S 標準偏差 です常に明記しておくべきではあるが、母集団統計と標本統計の使用の区別はしばしばなされない。いずれの場合も、方程式の分子と分母は同じ測定単位を持つため、除算によって単位が相殺され、zは 無次元量 となる。
アプリケーション
Z検定 zスコアは、標準化テストにおけるz検定でよく用いられます。z検定は、母集団のパラメータが推定値ではなく既知である場合の、スチューデントのt検定 に相当するものです。しかし、母集団全体のパラメータが既知であることは非常に稀であるため、t検定の方がはるかに広く用いられています。
予測区間 標準スコアは予測区間 の計算に使用できます。予測区間[ L , U ] L と上限値U から構成され、将来の観測値Xが 高確率でその区間内に含まれるような区間です。γ {\displaystyle \gamma }
教授 （ L < X < U ） = γ 、 {\displaystyle \Pr(L<X<U)=\ガンマ ,}
X の標準スコアZ については、次のようになります。[ 8 ] 教授 （ L − μ σ < Z < U − μ σ ） = γ 。 \displaystyle \Pr {\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)}=\gamma .} 教授 （ − z < Z < z ） = γ {\displaystyle \Pr \left(-z<Z<z\right)=\gamma } L = μ − z σ 、 U = μ + z σ {\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }
プロセス制御 プロセス制御アプリケーションにおいて、Z値はプロセスが目標値からどの程度ずれているかを評価する指標となる。
異なる尺度で測定されたスコアの比較：ACTとSAT 生徒Aのzスコアは1であり、これは生徒Aが平均値より1標準偏差上であることを意味します。したがって、生徒Aは SATで84.13パーセンタイルの成績を収めました。 異なる尺度でスコアが測定された場合、比較を容易にするために、スコアをzスコアに変換することがあります。Dietzら[ 9 ] は、(旧) SAT とACT の高校テストの生徒のスコアを比較した次の例を示しています。この表は、SATとACTの合計スコアの平均値と標準偏差を示しています。生徒AがSATで1800点、生徒BがACTで24点を獲得したとします。他の受験者と比較して、どちらの生徒がより良い成績を収めたでしょうか。
生徒Bのz スコアは0.6であり、これは生徒Bが平均より0.6標準偏差上回っていることを意味します。したがって、生徒BはSATにおいて72.57パーセンタイルに位置しました。生徒Aのzスコアはz = x − μ σ = 1800 − 1500 300 = 1 {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {1800-1500}{300}}=1}
生徒Bのzスコアはz = x − μ σ = 24 − 21 5 = 0.6 {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {24-21}{5}}=0.6}
生徒Aは生徒Bよりもzスコアが高いため、生徒Aは他の受験者と比較して生徒Bよりも成績が良かった。
クラスター分析と多次元尺度構成法 「多次元尺度構成法やクラスター分析などの多変量手法では、データ内の単位間の距離の概念が非常に興味深く重要であることが多い… 多変量データセットの変数が異なる尺度にある場合、何らかの標準化を行った後に距離を計算する方が理にかなっている。」[ 10 ]
主成分分析 主成分分析 では、「異なる尺度で測定された変数、または範囲が大きく異なる共通尺度で測定された変数は、しばしば標準化される。」[ 11 ]
重回帰分析における変数の相対的重要度：標準化回帰係数 多重回帰分析 の前に変数を標準化することは、解釈を助けるために用いられることがある。[ 12 ]
「標準化回帰傾きとは、XとYを標準化した場合の回帰方程式の傾きのことです。XとYの標準化は、各観測値からそれぞれの平均値を差し引き、それぞれの標準偏差で割ることによって行われます。複数のX変数を用いる重回帰分析では、標準化回帰係数は各X変数の相対的な寄与度を定量化します。」
しかし、Kutnerら[ 13 ]
数理統計学の標準化 数理統計学 では、確率変数 Xは、 その期待値を差し引くことによって 標準化さ れる。E [ X ] {\displaystyle \operatorname {E} [X]} 標準偏差で割る σ （ X ） = バラ （ X ） {\textstyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}
Z = X − E [ X ] σ （ X ） {\displaystyle Z={\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma (X)}}}
検討対象の確率変数がランダムサンプルの標本平均である場合 X 1 、 … 、 X n {\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}} X の：
X ¯ = 1 n ∑ 私 = 1 n X 私 {\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
すると、標準化されたバージョンは
Z = X ¯ − E [ X ¯ ] σ （ X ） / n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}
標準化標本平均の分散は、以下のように計算された。
バラ （ ∑ 私 x 私 ） = ∑ 私 バラ （ x 私 ） = n バラ （ x 私 ） = n σ 2 バラ （ X ¯ ） = バラ （ ∑ 私 x 私 n ） = 1 n 2 バラ （ ∑ 私 x 私 ） = n σ 2 n 2 = σ 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\[1ex]\textstyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)={\dfrac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)={\dfrac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\dfrac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}}
参考文献 ↑マルダース、マルティン ； ザンデリギ、ジュリア編 (2017)。2015年欧州高エネルギー物理学スクール：ブルガリア、バンスコ、2015年9月2日～15日 。CERNイエローレポート：スクール議事録。ジュネーブ：CERN。ISBN 978-92-9083-472-4 。 ↑ Gross, Eilam (2017-11-06). "高エネルギー物理学のための実践統計学" . CERN Yellow Reports: School Proceedings . 4/2017: 165– 186. doi : 10.23730/CYRSP-2017-004.165 . ↑ E. クレイジグ (1979). 高度工学数学 （第4 版）. ワイリー. p. 880、式5. ISBN 0-471-02140-7 。↑ シュピーゲル、マレー R.、スティーブンス、ラリー J (2008)、 シャウム統計学概論 （第4 版）、マグロウヒル、 ISBN 978-0-07-148584-5 ↑ メンデンホール、ウィリアム；シンシッチ、テリー（2007）、『 工学および科学のための統計学 （第5 版）』、ピアソン／プレンティスホール、 ISBN 978-0131877061 ↑ Glantz, Stanton A.; Slinker, Bryan K.; Neilands, Torsten B. (2016), Primer of Applied Regression & Analysis of Variance (Third ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118 ↑ Aho, Ken A. (2014), Foundational and Applied Statistics for Biologists (First ed.), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380 ↑ E. クレイジグ (1979). 高度工学数学 （第4 版）. ワイリー. p. 880、式6. ISBN 0-471-02140-7 。↑ Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), OpenIntro Statistics (Second ed.), openintro.org ↑ エヴェリット、ブライアン；ホットホーン、トルステン J (2011)、 『R を用いた応用多変量解析入門』 、スプリンガー、 14～ 15ページ、 ISBN 978-1441996497 ↑ ジョンソン、リチャード、ウィチャーン、ウィチャーン (2007)、 『応用多変量統計分析』 、ピアソン/プレンティスホール ↑ Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K.; Clark, Virginia A. (2012), Practical Multivariate Analysis (Fifth ed.), Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1439816806 ↑ クトナー、マイケル；ナハトシャイム、クリストファー；ネター、ジョン（204）、 『応用線形回帰モデル （第4 版）』、マグロウヒル、 ISBN 978-0073014661 ↑ ジョン・サルビア、ジェームズ・イセルダイク、サラ・ウィットマー（2009年1月29日）。 『アセスメント：特別支援教育とインクルーシブ教育 』。Cengage Learning。43ページ 以降 。ISBN 978-0-547-13437-6 。↑ Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (2014年1月1日). Essentials of Testing and Assessment: A Practical Guide for Counselors, Social Workers, and Psychologists . Cengage Learning. pp. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2 。↑ カンファウス、ランディ・W. (2005年8月16日). 児童・青年期知能の臨床評価 （第2 版）. スプリンガー. p. 123. doi : 10.1007/978-0-387-29149-9 . ISBN 978-0-387-26299-4 。↑ Goodman, Roger; Oka, Chinami (2018-09-03). "日本の教育におけるヘンサチ（標準化された順位スコア）の発明、不正操作、および持続性" . Oxford Review of Education . 44 (5): 581–598 . doi : 10.1080 /03054985.2018.1492375 . ISSN 0305-4985 . JSTOR 26836035 . ↑ 「骨量測定：数値の意味」 。NIH 骨粗鬆症および関連骨疾患国立リソースセンター 。米国国立衛生研究所。 2017年 8月5日 取得 。
さらに読む キャロル、スーザン・ロヴェッツィ、キャロル、デイビッド・J. (2002).学校指導者のための統計学入門 （図解 版）. ローマン＆リトルフィールド. ISBN 978-0-8108-4322-6 2009年6月7日 に取得 。 ラーセン、リチャード・J.、マルクス、モリス・L. (2000).数理統計学とその応用入門 （第3 版）. プレンティス・ホール. p. 282. ISBN 0-13-922303-7 。 
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93)
![{\displaystyle Z={\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma (X)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9bf6892093ed4f87f18711894c5727a1a08d35)
![{\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acf468c72121de0afb89521b2b709c042730963)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\[1ex]\textstyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)={\dfrac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)={\dfrac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\dfrac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a13e41c4b1876412ac65fa5724d9bc60c5c8e0)