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多面体組合せ論（数学の一分野）において、積み重ねられた多面体とは、単体がその面の1つに別の単体を繰り返し接着することによって形成される多面体である。[1] [2]
例
すべての単体はそれ自体が積み重ねられた多面体です。
3次元では、積み重ねられた多面体はすべて三角形の面を持つ多面体であり、デルタ面体（正三角形の面を持つ多面体）のいくつかは積み重ねられた多面体である。
左の四角錐は積み重なった多面体であるが、右の五角錐はそうではない。
積み重ねられた多面体では、新たに追加された各単体は、前の単体の面の 1 つにのみ接触できます。したがって、たとえば、共通の線分の周りに 5 つの正四面体を接着して形成された形状である四角形四面体は、積み重ねられた多面体です (最初の四面体と最後の四面体の間に小さな隙間があります)。ただし、似たような五角形双錐は積み重ねられた多面体ではありません。四面体を接着して形成された場合、最後の四面体は、前の四面体の 1 つの三角形面ではなく 2 つの三角形面に接着されるからです。
その他の非凸積層デルタ面体には以下のものがあります:
組み合わせ構造
d次元の積み重ねられた多面体の頂点と辺によって形成される無向グラフは、 ( d + 1)-木です。より正確には、積み重ねられた多面体のグラフは、 すべてのd頂点クリーク（完全なサブグラフ）が最大2つの( d + 1)頂点クリークに含まれる、まさに(d + 1)-木です。[3]たとえば、 3次元の積み重ねられた多面体のグラフは、まさにアポロニアンネットワーク、つまりグラフの三角形の面を3つの小さな三角形に繰り返し分割することで三角形から形成されるグラフです。
積み重ねられた多面体が重要である理由の1つは、与えられた数の頂点を持つすべてのd次元の単体多面体の中で、積み重ねられた多面体は可能な限り高次元の面が少ないことです。3次元の単体多面体の場合、辺の数と2次元の面の数は、多面体が積み重ねられているかどうかに関係なく、オイラーの公式によって頂点の数から決定されますが、これは高次元では当てはまりません。同様に、頂点の数に対して高次元の面の数を最大化する単体多面体は、巡回多面体です。[2]
参考文献
- ^ Grünbaum, Branko (2001)、「等面体でない凸多面体」(PDF)、Geombinatorics、10 (4): 165–171、MR 1825338
- ^ ab ミラー、エズラ; ライナー、ビクター;シュトゥルムフェルス、ベルント、「幾何的組合せ論」、IAS/パークシティ数学シリーズ、第13巻、アメリカ数学会、p. 621、ISBN 9780821886953。
- ^ Koch, Etan; Perles, Micha A. (1976)、「木とk木の被覆効率」、第 7 回南東部組合せ論、グラフ理論、コンピューティングに関する会議の議事録 (ルイジアナ州立大学、ルイジアナ州バトンルージュ、1976 年)、Congressus Numerantium、17、ウィニペグ、マニトバ州、カナダ: Utilitas Mathematica: 391–420、MR 0457265特に420ページを参照。