球形モデル

球状モデルは、 1952 年にTH ベルリンとM. カックによって解決されたイジング モデルに似た強磁性モデルです。このモデルは、線次元d が4 より大きい場合、臨界点付近のシステムの挙動を支配する臨界指数がdやシステムの形状に依存しないという注目すべき特性を持っています。これは、外部場が存在する場合でも正確に解くことができる数少ない強磁性モデルの 1 つです。

このモデルは、 N個のサイトを含む格子上の粒子の集合を記述する。の各サイトjには、最も近い隣接粒子と外部場Hとのみ相互作用するスピンが含まれる。 はに制限されず、次の制約の下ですべての実数値を取ることができるという 点で、イジングモデルと異なる。${\displaystyle \mathbb {L} }$${\displaystyle \mathbb {L} }$${\displaystyle \sigma_{j}}$${\displaystyle \sigma_{j}}$${\displaystyle \sigma _{j}\in \{1,-1\}}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{2}=N}$

これにより、均質システムでは、通常のイジングモデルと同様に、任意のスピンの二乗の平均が 1 になることが保証されます。

分配関数はイジングモデルのものを一般化すると、

${\displaystyle Z_{N}=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }d\sigma _{1}\cdots d\sigma _{N}\exp \left[K\sum _{\langle jl\rangle }\sigma _{j}\sigma _{l}+h\sum _{j}\sigma _{j}\right]\delta \left[N-\sum _{j}\sigma _{j}^{2}\right]}$

ここで、はディラックのデルタ関数、は格子の端、 およびであり、Tは系の温度、kはボルツマン定数、J は最近接相互作用の結合定数です。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \langle jl\rangle }$${\displaystyle K=J/kT}$${\displaystyle h=H/kT}$

ベルリンとカックはこれを通常のイジングモデルの近似とみなし、イジングモデルにおける - 和は- 空間のN次元超立方体のすべての角の合計として見ることができると主張した。 は、そのようなすべての角を通過する超球面の 表面上の積分となる。${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$

球面モデルはNベクトルモデルの極限ケースであることがKacとCJ Thompson ^[1]によって厳密に証明されました。

分配関数を解き、自由エネルギーを計算すると、系の 磁化 Mを記述する方程式が得られる。

${\displaystyle 2J(1-M^{2})=kTg'(H/2JM)}$

関数gは次のように定義される。

${\displaystyle g(z)=(2\pi )^{-d}\int _{0}^{2\pi }\ldots \int _{0}^{2\pi }d\omega _{1}\cdots d\omega _{d}\ln[z+d-\cos \omega _{1}-\cdots -\cos \omega _{d}]}$

サイトあたりの 内部エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}kT-Jd-{\frac {1}{2}}H(M+M^{-1})}$

内部エネルギーと磁化を関連付ける正確な関係。

臨界温度は絶対零度で発生するため、球状モデルでは相転移は発生しません。d が 2 より大きい場合、球状モデルは典型的な強磁性挙動を示し、強磁性がなくなる有限のキュリー温度を持ちます。球状モデルの臨界挙動は、次元d が実数非整数次元になる可能性がある という完全に一般的な状況で導き出されました。${\displaystyle d\leq 2}$

臨界指数と零磁場の場合のシステムの挙動を規定する値は、次のように導かれた。 ${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma}$${\displaystyle \gamma '}$

${\displaystyle \alpha ={\begin{cases}-{\frac {4-d}{d-2}}&{\text{if}}\ 2<d<4\\0&{\text{if }}d>4\end{cases}}}$

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}{\frac {2}{d-2}}&{\text{if }}2<d<4\\1&{\text{if }}d>4\end{cases}}}$

${\displaystyle \delta ={\begin{cases}{\frac {d+2}{d-2}}&{\text{if }}2<d<4\\3&{\text{if }}d>4\end{cases}}}$

これらはdの次元が4 より大きい場合、その次元とは独立しており、次元は任意の実数値を取ることができます。

• RJ Baxter 著、「統計力学における正確に解決されたモデル」、ロンドン、Academic Press、1982 年、2007 年 Dover 再版、新しい章「その後の展開」を追加

• Berlin, TH; Kac, M. (1952). 「強磁性体の球状モデル」. Physical Review . Series 2. 86 (6): 821–835. Bibcode :1952PhRv...86..821B. doi :10.1103/PhysRev.86.821. MR  0049829.