均一に分布した測定

数学、特に幾何学的測度論において、距離空間上の一様分布測度とは、開球の測度がその中心ではなく半径のみに依存する測度である。慣例により、測度はボレル正則であること、また有限半径の開球に対して正の有限値を取ることが求められる。したがって、( X ,  d )が距離空間である場合、 X上のボレル正則測度μが一様分布であるとは、

${\displaystyle 0<\mu (\mathbf {B} _{r}(x))=\mu (\mathbf {B} _{r}(y))<+\infty }$

Xのすべての点xとyと0 <  r  < +∞に対して、ここで

${\displaystyle \mathbf {B} _{r}(x):=\{z\in X|d(x,z)<r\}。}$

結局のところ、均一に分布した測度は非常に固定したオブジェクトです。任意の「適切な」メトリック空間では、均一に分布した測度は 1 つのパラメータの線形従属ファミリを形成します。

μとν を可分距離空間 ( X ,  d )上の均一に分布するボレル正規測度とします。このとき、 μ  =  cνとなる定数cが存在します。

• Christensen, Jens Peter Reus (1970)。「ハール測度に類似したいくつかの測度について」。Mathematica Scandinavica 26 : 103–106。ISSN 0025-5521  。 MR0260979​
• Mattila, Pertti (1995)。ユークリッド空間における集合と測度の幾何学：フラクタルと修正可能性。Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp. xii+343。ISBN 0-521-46576-1。 MR 1333890（第3章参照）