アポロニウスの問題の特殊なケース

ユークリッド幾何学において、アポロニウスの問題は、与えられた 3 つの円に接するすべての円を作図することです。 アポロニウスの問題の特殊なケースは、与えられた円の少なくとも 1 つが点または直線、つまり半径が 0 または無限大の円である場合です。アポロニウスの問題のこのような極限ケースの 9 種類は、次の円に接する円を作図することです。

1. 3 点 (PPP と表記、通常は 1 つの解)
2. 3 行 (LLL と表記、通常は 4 つのソリューション)
3. 1 本の線と 2 つの点 (LPP と表記され、通常は 2 つの解)
4. 2 本の線と 1 点 (LLP と表記、通常は 2 つの解)
5. 1 つの円と 2 つの点 (CPP と表記され、通常は 2 つの解)
6. 1 つの円、1 つの線、および 1 つの点 (CLP と表記され、通常は 4 つの解がある)
7. 2 つの円と 1 つの点 (CCP と表記され、通常は 4 つの解がある)
8. 1 つの円と 2 つの線 (CLL と表記され、通常は 8 つの解がある)
9. 2 つの円と 1 本の線 (CCL と表記、通常は 8 つの解)

別の種類の極限ケースでは、与えられた 3 つの幾何学的要素は、2 つの平行線と 1 つの円に接する円を構築するなど、特別な配置になる場合があります。

数学のほとんどの分野と同様に、ユークリッド幾何学は、最小限の公理から一般的な真理を証明することに関係しています。たとえば、簡単な証明では、二等辺三角形の少なくとも 2 つの角度が等しいことが示されます。ユークリッド幾何学における重要な証明の 1 つは、コンパスと目盛りのない定規を使用して幾何学的オブジェクトを作成できることを示すことです。オブジェクトを作成できるのは、次の条件を満たす場合のみです (平方根を超えない程度の何かが取られている場合)。したがって、コンパスと定規を使用してオブジェクトを作成できるかどうか、また作成できる場合はどのように作成できるかを判断することが重要です。

ユークリッドはコンパスと定規を使って数多くの作図法を考案しました。例としては、五角形や六角形などの正多角形、ある点を通る別の線と平行な線などがあります。ゴシック様式の大聖堂のバラ窓の多くや、一部のケルト結び目は、ユークリッド作図法のみを使用して設計できます。ただし、七角形や角度の 三等分など、一部の幾何学的作図は、これらのツールでは不可能です。

アポロニウスは、点、線、円など、3 つの幾何学的要素に同時に接する円を見つけるなど、多くの構築に貢献しました。

ユークリッド構成では、次の 5 つの演算が許可されます。

1. 2点を通る線を引く
2. 指定された中心を持つ点を通る円を描く
3. 2本の直線の交点を見つける
4. 2つの円の交点を見つける
5. 直線と円の交点を見つける

幾何学的構成における最初の要素は、与えられた点、与えられた線、与えられた円など、「与えられたもの」と呼ばれます。

2 点間の線分の垂直二等分線を作成するには、それぞれ端点を中心とし、もう一方の端点を通過する 2 つの円が必要です (操作 2)。これらの 2 つの円の交点 (操作 4) は、端点から等距離にあります。それらの交点を通る線 (操作 1) が垂直二等分線です。

与えられた2本の光線の間の角度を二等分する線を生成するには^{[説明が必要]}、2本の線(2)の交点Pを中心とする任意の半径の円が必要です。この円と与えられた2本の線(5)との交点はT1とT2です。T1とT2を中心とする同じ半径の2つの円は、点PとQで交差します。PとQを通る線(1)は、角の二等分線です。光線には1つの角の二等分線がありますが、線には互いに垂直な2つの角の二等分線があります。

いくつかの基本的な結果は、アポロニウスの問題の特殊なケースを解決するのに役立ちます。線と点は、それぞれ無限に大きい半径と無限に小さい半径の円として考えることができることに注意してください。

• 円が点に接するのは、円が点を通過するときです。また、円と線が単一の点Pで交差する場合、または線が円の中心からPまで引いた半径に垂直である場合は、円は線に接します。
• 与えられた 2 点に接する円は、垂直二等分線上になければなりません。
• 与えられた 2 本の線に接する円は、角の二等分線上になければなりません。
• 指定された点から円への接線は、円の中心と指定された点の中点を中心とした半円を描きます。
• 点の累乗と調和平均^{[説明が必要]}
• 2 つの円の根軸は、等しい接線、またはより一般的には等しい力を持つ点の集合です。
• 円は線に反転され、円は円に反転されることがあります。^{[説明が必要]}
• 2 つの円が内部接している場合、半径が同じ量だけ増加または減少しても、2 つの円は内部接したままになります。逆に、2 つの円が外部接している場合、半径が反対方向に同じ量だけ変化しても、一方の円が増加、もう一方の円が減少すると、2 つの円は外部接したままになります。

PPP 問題には通常、解が 1 つあります。上に示したように、円が 2 つの指定点P ₁とP _{2 を}通過する場合、円の中心は 2 点の垂直二等分線上のどこかにある必要があります。したがって、解円が 3 つの指定点P ₁、P ₂、P _{3 を}通過する場合、円の中心は、、およびの垂直二等分線上になければなりません。これらの二等分線のうち少なくとも 2 つは交差する必要があり、その交点が解円の中心です。解円の半径は、その中心から 3 つの指定点のいずれかまでの距離です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{2}}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{3}}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{3}}}}$

LLL 問題には通常 4 つの解があります。上に示したように、円が 2 本の与えられた直線に接している場合、その中心は 2 本の与えられた直線の間の角度を二等分する 2 本の直線のいずれかになければなりません。したがって、円が 3 本の与えられた直線L ₁、L ₂、およびL ₃に接している場合、その中心C は3 本の与えられた直線の二等分線の交点に位置しなければなりません。一般に、そのような点は 4 つあり、LLL アポロニウス問題には 4 つの異なる解があります。各解の半径は、接点T を見つけることによって決定されます。接点 T は、与えられた直線間の 3 つの交点Pの 1 つを選択し、 CとPの中点を中心とし、CとP の間の距離に等しい直径の円を描きます。その円と交差する与えられた直線との交点が、2 つの接点です。

PLL 問題には、一般に 2 つの解があります。上に示したように、円が 2 本の指定された直線に接している場合、その中心は、2 本の指定された直線の間の角度を二等分する 2 本の直線のいずれかになければなりません。対称性により、そのような円が指定された点Pを通過する場合、角の二等分線についてPの「鏡像」である点Qも通過する必要があります。2 つの解円はPとQ の両方を通過し、その根軸はこれら 2 点を結ぶ線です。根軸が 2 本の指定された直線の 1 つと交差する点Gを考えてみましょう。根軸上のすべての点は各円に対して同じ力を持っているため、解の接線点T ₁とT ₂までの距離とが互いに等しく、積 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} _{1}}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} _{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {GP} }}\cdot {\overline {\mathbf {GQ} }}={\overline {\mathbf {GT} _{1}}}\cdot {\overline {\mathbf {GT} _{1}}}={\overline {\mathbf {GT} _{2}}}\cdot {\overline {\mathbf {GT} _{2}}}}$

したがって、距離は両方とも、およびの幾何平均に等しくなります。 Gとこの距離から、接点T ₁とT _{2 を見つけることができます。すると、2 つの解円は、それぞれ 3 つの点 (} P、Q、T ₁ ) と ( P、Q、T ₂ )を通る円になります。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} _{1-2}}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {GP} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {GQ} }}}$

PPL 問題には通常 2 つの解があります。与えられた点PとQ を通る直線m が 与えられた直線lと平行である場合、 lとの円の接線T は、 lとの垂直二等分線と交点に位置します。その場合、唯一の解円は、 3 つの点P、Q、Tを通る円です。 ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$

直線mが与えられた直線lと平行でない場合、直線 m は点Gでl と交差する。点のべき乗定理により、Gから接点Tまでの距離は幾何平均に等しくなければならない。

${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} }}\cdot {\overline {\mathbf {GT} }}={\overline {\mathbf {GP} }}\cdot {\overline {\mathbf {GQ} }}}$

与えられた直線L上の 2 つの点は、点Gから一定の距離だけ離れており、これをT ₁およびT ₂と表記します。2 つの解円は、それぞれ 3 つの点 ( P、Q、T ₁ ) と ( P、Q、T ₂ )を通る円です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {GT} }}}$

PとQ を通る直線が 与えられた直線lと平行で はない「 2 点 1 直線」の問題における 2 つの円は、コンパスと定規を使って次のように作図できます 。

• 与えられた点PとQ を通る線分 m を描きます。
• 点Gは直線lと直線mが交差する点である。
• 直径がPQである円Cを描きます。
• Gから円Cへの接線の 1 つを描きます。
• 点 A は接線と円が接する点です。
• 中心GからA を通る円 D を描きます。
• 円Dは点T1と点T2で線分lを切ります。
• 必要な円の 1 つは、 P、Q、T1 を通る円です。
• もう一つの円はP、Q、T2 を通る円です。

最も速い構築法（lと（PQ ）および[ PQ ]への中心垂線との交点が利用可能な場合。Gergonneのアプローチに基づく）。

• PとQ を通り、Gでlと交差する線分m を描きます。
• [ PQ ]の中心を通る垂線nを引き、 lとOで交差させます。
• Oを中心とし、半径| OP |=| OQ |の円wを描きます。
• [ OG ]を直径として円Wを描き、 wとM1、M2で交差させます。
• Gを中心とし、半径| GM1 |=| GM2 |で、 T1とT2でlと交差する円vを描きます。
• P、Q、T1を通る円とP、Q、T2 を通る円が解です。

普遍的な構成（lと ( PQ ) または [ PQ ]への中心垂線との交点が利用できない、または存在しない場合）。

• [ PQ ]の中心（点R ）を通る垂線nを引きます。
• PまたはQ を通り、 lとKで交差する垂線k をlに描きます。
• Rを中心とし、半径| RK |の円wを描きます。
• PとQを通り、 nに平行で、それぞれ点A1、A2と点B1、B2でw と交差する2 本の線n1とn2 を描きます。
• lとそれぞれT1とT2で交差する2 本の線 ( A1B1 ) と ( A2B2 )を描きます。
• P、Q、T1を通る円とP、Q、T2 を通る円が解です。

CPP 問題には通常 2 つの解があります。1 つの与えられた点P を中心とし、2 番目の点Qを通過する円を考えます。解円はP を通過する必要があるため、この円の反転により、解円は直線 lambda に変換されます。同じ反転によりQ はQ自身に変換され、(一般に) 与えられた円C は別の円cに変換されます。したがって、問題はQ を通過しcに接する解の直線を見つける問題になります。これは上で解決されており、そのような直線は 2 つあります。再度反転すると、元の問題に対応する 2 つの解円が生成されます。

CLP 問題には通常 4 つの解があります。この特殊なケースの解は、CPP アポロニウスの解の解と似ています。与えられた点Pを中心とした円を描きます。解の円はP を通らなければならないため、この^{[説明が必要]}円の反転により、解の円は直線 lambda に変換されます。一般に、同じ反転により、与えられた直線Lと与えられた円C は、2 つの新しい円c ₁とc ₂に変換されます。したがって、問題は、上で解決した 2 つの反転された円に接する解の直線を見つける問題になります。そのような直線は 4 つあり、再度反転すると、アポロニウスの問題の 4 つの解の円に変換されます。

CCP 問題には通常 4 つの解があります。この特殊なケースの解は CPP の場合と似ています。与えられた点P を中心とする円を描きます。解の円はP を通らなければならないため、この円の反転により、解の円は直線 lambda に変換されます。一般に、同じ反転により、与えられた円C ₁とC _{2 は}2 つの新しい円c ₁とc ₂に変換されます。したがって、問題は、上で解決した 2 つの反転された円に接する解の直線を見つける問題になります。そのような直線は 4 つあり、再度反転すると、元のアポロニウスの問題の 4 つの解の円に変換されます。

CLL 問題には通常 8 つの解があります。この特殊なケースは、スケーリングを使用すると最も簡単に解決できます。与えられた円は 1 点に縮小され、解円の半径は同じ量だけ減少するか (内部接線解の場合)、または増加します (外部接線円の場合)。解円の半径が増加するか減少するかに応じて、解円の中心がどの象限にあるかに応じて、2 つの与えられた線は同じ量だけ平行に移動します。与えられた円を 1 点に縮小すると、問題は上で解決した PLL 問題になります。一般に、象限ごとにこのような解が 2 つあり、合計で 8 つの解が得られます。

CCL 問題には通常 8 つの解があります。この特殊なケースの解は CLL に似ています。小さい方の円は 1 点に縮小され、大きい方の与えられた円と任意の解円の半径が調整され、線が小さい方の円に内接しているか外接しているかに応じて、線がそれ自体に平行になるように移動されます。これにより、問題は CLP に簡略化されます。上記のように、各 CLP 問題には 4 つの解があり、解円が小さい方の円に内接しているか外接しているかによって、2 つの問題があります。

アポロニウスの問題は、与えられた円が入れ子になっている場合、つまり、1 つの円が特定の円に完全に囲まれていて、残りの円が完全に除外されている場合には不可能です。これは、解の円は、内側の円との接点から外側の円との接点に移動するために、中央の円を横切らなければならないためです。この一般的な結果には、与えられた円が点に縮小された場合 (半径 0)、または直線に拡大された場合 (半径無限大) の特殊なケースがいくつかあります。たとえば、2 つの円が直線の反対側にある場合、CCL 問題の解は 0 になります。その場合、解の円は、一方の円の接点からもう一方の円の接点に移動するために、与えられた直線を非接線で横切らなければならないためです。

• アポロニウスの問題
• コンパスと定規による作図

• Altshiller-Court N (1952)。『大学の幾何学：三角形と円の現代幾何学入門』（第2版、改訂増補版）。ニューヨーク：Barnes and Noble。pp. 222–227。
• Benjamin Alvord (1855)「円と球の接線」、Smithsonian Contributions 、第 8 巻、 Google ブックスより。
• Bruen A, Fisher JC, Wilker JB (1983). 「反転によるアポロニウス」.数学雑誌. 56 (2): 97–103. doi :10.2307/2690380. JSTOR  2690380.
• Hartshorne R (2000).幾何学:ユークリッドとその先ニューヨーク: Springer Verlag. pp. 346–355. ISBN 0-387-98650-2。