ソリトン（光学）

光カー効果を示す媒質中を電場が伝搬する場合、屈折率は次のように表される。

${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

放射照度と電場の関係は（複素数表現では）次のようになることを思い出してください。

${\displaystyle I={\frac {|E|^{2}}{2\eta }}}$

どこ${\displaystyle \eta =\eta _{0}/n}$そして$\displaystyle \eta _{0}}$は自由空間のインピーダンスであり、次式で与えられる。

$\displaystyle \eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377{\text{ }}\Omega .}$

場は伝播している${\displaystyle z}$位相定数を持つ方向${\displaystyle k_{0}n}$ここで、 y軸への依存性は無視し、y軸方向は無限であると仮定します。すると、場は次のように表すことができます。

${\displaystyle E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}}$

どこ${\displaystyle A_{m}}$は電場の最大振幅であり、${\displaystyle a(x,z)}$は、 x軸間の電場の形状を表す無次元正規化関数（最大値は1）です。一般に、電場は伝播中に形状が変化するため、 zに依存します。次に、ヘルムホルツ方程式を解く必要があります。

${\displaystyle \nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0}$

そこでは、屈折率（したがって位相定数）が強度に依存することが明確に指摘されている。方程式の電場の式を置き換えると、包絡線が${\displaystyle a(x,z)}$伝播しながらゆっくりと変化する、つまり

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|}$

方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]a=0.}$

非線形効果は常に線形効果よりもはるかに小さいので、有効な近似式を導入してみましょう。

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I}$

ここで、強度を電場の観点から表現してみましょう。

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}}$

方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.}$

ここでは、${\displaystyle n_{2}>0}$非線形効果により自己集束が生じる。これを明確にするために、式に次のように記述する。${\displaystyle n_{2}=|n_{2}|}$ それでは、いくつかのパラメータを定義し、それらを方程式に代入してみましょう。

• ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{X_{0}}}}$したがって、 x軸への依存性を無次元パラメータで表現することができます。${\displaystyle X_{0}}$これは長さを表す記号であり、その物理的な意味は後ほどより明確になる。
• ${\displaystyle L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n}$電場がこの長さだけz軸方向に伝播した後では、回折の線形効果を無視することはもはやできません。
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L_{d}}}}$、無次元変数を用いたz依存性の研究のため。
• ${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}}$電場がこの長さだけz軸方向に伝播した後、非線形効果はもはや無視できなくなります。このパラメータは電場の強度に依存しますが、これは非線形パラメータによく見られる特徴です。
• ${\displaystyle N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

これは非線形シュレディンガー方程式として知られる一般的な方程式です。この形式から、パラメータNの物理的な意味を理解できます。

• もし${\displaystyle N\ll 1}$すると、方程式の非線形部分を無視できます。つまり、${\displaystyle L_{d}\ll L_{n\ell }}$すると、場は非線形効果よりもはるかに早く線形効果（回折）の影響を受け、非線形挙動を一切伴わずに回折するだけになります。
• もし${\displaystyle N\gg 1}$すると、非線形効果は回折よりも顕著になり、自己位相変調のため、電場は集束する傾向を持つ。
• もし${\displaystyle N\approx 1}$すると、2つの効果が互いに釣り合うので、方程式を解く必要があります。

のために${\displaystyle N=1}$この方程式の解は単純で、基本ソリトンである。

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}}$

ここで sech は双曲線正割です。これはzに依存しますが、位相のみに依存するため、伝搬中に電場の形状は変化しません。

のために${\displaystyle N=2}$解を閉じた形で表現することはまだ可能ですが、より複雑な形式になります。^{[ 3 ]}

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.}$

伝播中に形状は変化するが、周期zの周期関数である。${\displaystyle \zeta =\pi /2}$。

N  = 1の場合 、ソリトンの形状は伝播中も変化しない。

N  = 2で伝播するソリトンの形状 は周期的に変化する。

ソリトン解の場合、Nは整数でなければならず、これはソリトンの次数と呼ばれます。${\displaystyle N=3}$厳密な閉形式解も存在します。^{[ 4 ]}さらに複雑な形式ですが、同じ周期性が発生します。実際、すべてのソリトンは${\displaystyle N\geq 2}$期間がある${\displaystyle \zeta =\pi /2}$[ ^{5 ]それらの形状は、}生成直後にのみ容易に表現できる。

${\displaystyle a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )}$

右側には2次ソリトンのグラフが示されています。最初はsech曲線のような形状をしていますが、最大振幅が増加し、その後再びsech曲線の形状に戻ります。ソリトンを生成するには高強度が必要なため、電場の強度がさらに増加すると、媒質が損傷する可能性があります。

基本ソリトンを生成するために解くべき条件は、 N を既知のすべてのパラメータで表し、次に${\displaystyle N=1}$:

${\displaystyle 1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}}$

最大日射量値で表すと次のようになる。

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.}$

ほとんどの場合、変更可能な2つの変数は最大強度です${\displaystyle I_{\max }}$パルス幅${\displaystyle X_{0}}$。

興味深いことに、高次のソリトンは、ソリトン周期の終わりに元の形状に正確に戻る前に、複雑な形状になることがあります。さまざまなソリトンの図では、スペクトル（左）と時間領域（右）が、理想化された非線形媒質中の伝搬距離（縦軸）を変えて示されています。これは、基本ソリトンをサポートするために必要な特性を持つ媒質中をレーザーパルスが伝搬する際にどのように振る舞うかを示しています。実際には、非線形効果を実現するために必要な非常に高いピーク強度を得るために、レーザーパルスは、伝搬モードが高度に閉じ込められたフォトニック結晶ファイバーなどの光ファイバーに結合されることがあります。これらのファイバーは、解析的なソリトンパラメータとは異なる、より複雑な分散やその他の特性を持っています。

空間光ソリトンの最初の実験は、1974 年にAshkinと Bjorkholm ^{[ 6 ]}によってナトリウム蒸気で満たされたセルで報告されました。その後、この分野はリモージュ大学^{[ 7 ]}での液体二硫化炭素での実験で再検討され、90 年代初頭には光屈折結晶^{[ 8 ] [ 9 ]}、ガラス、半導体^{[ 10 ]}、ポリマーでのソリトンの最初の観測によって拡大されました。過去 数十年の間に、さまざまな材料で、さまざまな次元、形状、らせん状、衝突、融合、分裂するソリトン、均質媒体、周期系、導波路^{[ 11 ]}について多数の発見が報告されています。空間ソリトンは自己閉じ込め光ビームとも呼ばれ、その形成は通常、自己書き込み導波路を伴います。ネマティック液晶^{[ 12 ]}では、空間ソリトンはネマティコンとも呼ばれます。

レーザーにおける局所的な励起は、横モードの同期によって生じる可能性がある。

共焦点${\displaystyle 2F}$レーザー共振器は、波長で単一の縦モードを持つ縮退した横モードを持つ。${\displaystyle \lambda }$非線形ゲインディスクに混合${\displaystyle G}$（所在地：${\displaystyle z=0}$）および飽和吸収ディスク${\displaystyle \alpha }$（所在地：${\displaystyle z=2F}$直径${\displaystyle D}$双曲型の空間ソリトンを生成する能力を持つ${\displaystyle \operatorname {sech} }$形式: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,z=0)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)\\[3pt]E(x,z=2F)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)\end{aligned}}}$

フーリエ共役平面において${\displaystyle z=0}$そして${\displaystyle z=2F}$[ ^{14 ]​}

1973年、AT&Tベル研究所の長谷川明とフレッド・タッパートは、自己位相変調と異常分散のバランスにより、光ファイバー内にソリトンが存在する可能性があることを初めて示唆した。^{[ 15 ] [ 16 ]} また、1973年にはロビン・ブロウが光ソリトンの存在に関する最初の数学的報告を行った。彼はまた、光通信の性能を向上させるためにソリトンベースの伝送システムのアイデアを提案した。

光ファイバーシステムにおけるソリトンは、マナコフ方程式によって記述される。

1987年、ブリュッセル大学とリモージュ大学のP. Emplit、JP Hamaide、F. Reynaud、C. Froehly、A. Barthelemyは、光ファイバーにおけるダークソリトンの伝搬を初めて実験的に観測した。

1988年、リン・モレナウアーとそのチームは、ラマン効果と呼ばれる現象を利用して、4000キロメートル以上にわたってソリトンパルスを送信した。この現象は、 1920年代に初めてこの現象を記述したインドの科学者、C・V・ラマン卿にちなんで名付けられており、光ファイバーに光利得を与えるために用いられた。

1991年、ベル研究所の研究チームは、エルビウム光ファイバー増幅器（希土類元素エルビウムを含む光ファイバーの継ぎ目）を用いて、14,000キロメートル以上にわたって2.5ギガビットの速度でソリトンをエラーなく送信することに成功した。光増幅器に結合されたポンプレーザーがエルビウムを活性化し、光パルスにエネルギーを与える。

1998年、フランス・テレコム研究開発センターのティエリー・ジョルジュとそのチームは、異なる波長の光ソリトンを組み合わせる（波長分割多重）ことで、毎秒1テラビット（毎秒1,000,000,000,000単位の情報）のデータ伝送を実証した。

2020年、Optics Communications誌は、文部科学省の日本人チームによる「最大90 Tbit/s（テラビット/秒）の帯域幅を持つ光回路スイッチング」という論文を報告した（Optics Communications、第466巻、2020年7月1日、125677）。

光カー効果を示す媒質中を、 xy平面上のパワーを制限する導波構造（光ファイバーなど）を介して電場が伝搬している。電場が位相定数でz方向に伝搬している場合、${\displaystyle \beta _{0}}$すると、それは次の形式で表現できます。

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}}$

どこ${\displaystyle A_{m}}$は電場の最大振幅であり、${\displaystyle a(t,z)}$は、時間領域でインパルスの形状を決定する包絡線です。一般に、インパルスは伝播中に形状が変化する可能性があるため、zに依存します。${\displaystyle f(x,y)}$はxy平面上の場の形状を表し、場が導波されていると仮定しているため、伝搬中に変化しません。aとfはどちらも最大値が 1 の正規化された無次元関数なので、${\displaystyle A_{m}}$実際には電場振幅を表しています。

媒質には無視できない分散が存在するため、電場とその分極の関係は畳み込み積分で表されます。いずれにせよ、フーリエ領域での表現を用いることで、畳み込みを単純な積に置き換えることができ、より単純な媒質で有効な標準的な関係式を用いることができます。電場をフーリエ変換するには、次の定義を用います。

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt}$

この定義を用いると、時間領域における微分は、フーリエ領域における積に対応する。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}}$

周波数領域における電界の完全な表現は次のとおりです。

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}}$

これで、周波数領域でヘルムホルツ方程式を解くことができます。

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0}$

位相定数を以下の表記で表すことにする。

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

ここで我々は、${\displaystyle \Delta \beta }$（線形分散成分と非線形部分の合計）は小さな摂動である。${\displaystyle |\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|}$位相定数は複雑な振る舞いをする可能性がありますが、中心が のテイラー級数で表すことができます。${\displaystyle \omega _{0}}$:

${\displaystyle \beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }}$

ここで、周知のとおり：

${\displaystyle \beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}}$

電場の式を方程式に代入して計算を行います。緩やかに変化する包絡線近似を仮定すると、次のようになります。

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|}$

我々は以下を得る：

${\displaystyle 2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0}$

xy平面での挙動は既に分かっており、以下で与えられているため、ここでは無視します。${\displaystyle f(x,y)}$空間ソリトンの場合と同様に、ここでも小さな近似を行う。

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

これを方程式に代入すると、単純に次のようになります。

${\displaystyle i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0}$。

ここで時間領域に戻りましょう。積を微分で表すと、次の双対性が得られます。

${\displaystyle \Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }}$

非線形成分は、照射強度または電場の振幅を用いて表すことができる。

${\displaystyle \beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}}$

空間ソリトンとの双対性のために、以下のように定義する。

${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}}$

そして、この記号は、文脈が異なっていても、前のケースと同じ意味を持ちます。方程式は次のようになります。

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

インパルスはz軸に沿って群速度で伝播していることがわかっています。${\displaystyle v_{g}=1/\beta _{1}}$したがって、パルスが伝搬中にどのように形状を変えるかを知りたいだけなので、それについては興味がありません。パルスの形状、つまり包絡線関数a (・) を、場と同じ速度で移動する基準を用いて調べることにしました。そこで、次の置換を行います。

${\displaystyle T=t-\beta _{1}z}$

そして方程式は次のようになる。

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

ここで、場が伝搬する媒体が異常分散を示すと仮定します。${\displaystyle \beta _{2}<0}$または群遅延分散パラメータの観点から${\displaystyle D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0}$式中の を置き換えることで、これをより明確にします。${\displaystyle \beta _{2}=-|\beta _{2}|}$それでは、以下のパラメータを定義しましょう（前のケースとの双対性は明らかです）。

${\displaystyle L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

これらを方程式に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

これは、前のケースで得られた方程式と全く同じです。1次ソリトンは次のように表されます。

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}}$

これまで検討してきたことと同じことが、この場合にも当てはまります。条件N  =  1 は、電場の振幅に関する条件となります。

${\displaystyle |A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}}$

あるいは、放射照度の観点から言うと：

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

あるいは、有効面積を導入すれば、電力の観点から表現することもできます。${\displaystyle A_{\text{eff}}}$定義すると${\displaystyle P=IA_{\text{eff}}}$:

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

高周波 (20  MHz～1  GHz) 外部磁場によって誘起される非線形カー効果が、かなりの長さ (50～100 m) のシングルモード光ファイバーに及ぼす影響を分析し、群速度分散 (GVD)を補償し、その後ソリトンパルス (ピークエネルギー、狭幅、正割双曲線パルス) の進化を解析する実験が行われた。^{[ 18 ]} パルスオフセット GVD のエネルギーが高いため自己位相変調によりファイバー内でソリトンパルスが発生することは明白な結論であり、進化の長さは 2000 km である (選択されたレーザー波長は 1.3 マイクロメートルより大きい)。さらに、ピークソリトンパルスの周期は 1～3 ps であるため、光帯域幅内に安全に収まる。ソリトンパルスが生成されると、数千キロメートルに及ぶファイバーの長さにわたって分散が最小限になるため、中継局の数が制限される。