空間記述統計

ブライアン・D・リプリー^{[ 2 ]}によって導入されたリプリーのK関数とL関数は、空間的均質性からの逸脱を検出するための密接に関連した記述統計量である。K関数（厳密にはその標本に基づく推定値）は次のように定義される。

${\displaystyle {\widehat {K}}(t)=\lambda ^{-1}\sum _{i\neq j}{\frac {I(d_{ij}<t)}{n}},}$

ここで、d _ijはn個の点からなるデータセットにおけるi^番目の点とj^番目の点の間のユークリッド距離、t は検索半径、λ は点の平均密度 (一般的にはn / Aと推定され、Aはすべての点を含む領域の面積)、Iは指示関数(オペランドが真の場合は 1、それ以外の場合は 0)です。 ^{[ 3 ]} 2 次元では、点がほぼ均質である場合、$\displaystyle {\widehat {K}}(t)}$π t ²とほぼ等しくなるはずです。

データ分析では、一般的にL関数と呼ばれる分散安定化リプリーK関数が使用されます。L関数のサンプルバージョンは次のように定義されます。

$\displaystyle {\widehat {L}}(t)=\left({\frac {{\widehat {K}}(t)}{\pi }}\right)^{1/2}.}$

ほぼ均質なデータの場合、L関数の期待値はtであり、その分散はtに関してほぼ一定です。一般的なグラフは、$\displaystyle t-\widehat L(t)$tに対して、データが均質なポアソン過程に従う場合、ほぼ一定の分散で水平なゼロ軸に沿って推移します。

リプリーのK関数を使用すると、特定のスケールで点がランダム、分散、またはクラスター分布パターンを持っているかどうかを判断できます。^{[ 4 ]}