共分散関数

確率論と統計学において、共分散関数は、空間的または時間的な分離の変化に伴って、 2つの確率変数がどれだけ一緒に変化するか（それらの共分散）を表します。領域D上の確率場または確率過程Z ( x ) に対して、共分散関数C ( x , y ) は、2 つの位置xとyにおける確率場の値の共分散を表します。 

$${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]{\big )}{\big (}Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]{\big )}{\Big ]}.\,}$$

同じC ( x , y ) は、次の 2 つの場合に自己共分散関数と呼ばれます。時系列の場合 ( xとy が空間ではなく時間の位置を表すことを除いてまったく同じ概念を表す)、および多変量ランダム場の場合 (異なる位置にある 2 つの異なる変数間の相互共分散 Cov( Z ( x ₁ ), Y ( x ₂ ))とは対照的に、変数自身との共分散を表す)。 ^{[ 1 ]}  

位置x ₁、x ₂、 ...、x _N ∈ Dについて、すべての線形結合の分散

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

計算すると次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$

関数が有効な共分散関数であるのは、^{[ 2 ]}この分散が、Nと重みw ₁、 ...、w _Nのすべての可能な選択肢に対して非負である場合のみです。この性質を持つ関数は、正半定値関数と呼ばれます。 

弱定常ランダム場の場合、

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

任意のラグhに対して、共分散関数は 1 つのパラメータ関数で表すことができる。

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

これは共分散図、または共分散関数とも呼ばれます。暗黙的に、C(xi, xj )は_Cs ( h )_から次_のように計算できます。 

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(yx).\,}$

この単一引数バージョンの共分散関数の正定値性は、ボフナーの定理によって確認できる。^{[ 2 ]}

与えられた分散に対して$\displaystyle \sigma ^{2}}$単純な定常パラメトリック共分散関数は「指数共分散関数」である。

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)}$

ここで、Vはスケーリングパラメータ（相関長）であり、d  = d ( x , y ) は 2 点間の距離です。指数共分散関数を持つガウス過程のサンプルパスは滑らかではありません。「二乗指数」（または「ガウス」）共分散関数： 

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})}$

これは、滑らかなサンプルパスを持つ定常共分散関数です。

マターン共分散関数と有理二次共分散関数は、定常共分散関数の2つのパラメトリック族である。マターン族には、指数共分散関数と指数二乗共分散関数が特殊な場合として含まれる。

• 自己相関関数
• 相関関数
• 共分散行列
• 共分散演算子– 確率論における演算子 
• クリギング
• 正定値カーネル
• ランダムフィールド
• 確率過程
• バリオグラム