歪んだ一般化t分布

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {|x-\mu +m|^{p}}{q(v\sigma )^{p}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}}$

どこ${\displaystyle B}$ベータ関数は、${\displaystyle \mu }$は位置パラメータです。${\displaystyle \sigma >0}$はスケールパラメータです。${\displaystyle -1<\lambda <1}$は歪度パラメータであり、${\displaystyle p>0}$そして${\displaystyle q>0}$これらは尖度を制御するパラメータです。${\displaystyle m}$そして${\displaystyle v}$これらはパラメータではなく、この分布のさまざまなパラメータ化に合わせて分布を適切にスケーリングまたはシフトするために使用される他のパラメータの関数です。

歪んだ一般化t分布の元のパラメータ化^{[ 1 ]}では、

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}}$

そして

${\displaystyle v={\frac {q^{-{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}}}}}}$。

これらの値は${\displaystyle m}$そして${\displaystyle v}$平均の分布を生成する${\displaystyle \mu }$もし${\displaystyle pq>1}$そして、${\displaystyle \sigma ^{2}}$もし${\displaystyle pq>2}$そのためには${\displaystyle m}$しかし、この価値を受け入れるためには、以下のことがなければならない。${\displaystyle pq>1}$同様に、${\displaystyle v}$上記の値と等しくなるように、${\displaystyle pq>2}$。

確率密度関数の最も単純な関数形式を与えるパラメータ化は、${\displaystyle m=0}$そして${\displaystyle v=1}$これは平均を与える

${\displaystyle \mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}}$

そして、

${\displaystyle \sigma ^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})}$

の${\displaystyle \lambda }$パラメータは分布の歪度を制御します。これを確認するには、${\displaystyle M}$分布の最頻値を表し、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{M}f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)\mathrm {d} x={\frac {1-\lambda }{2}}}$

以来${\displaystyle -1<\lambda <1}$、モードの左側の確率、したがってモードの右側の確率も、 の値に応じて (0,1) の任意の値に等しくなります。${\displaystyle \lambda }$したがって、歪んだ一般化t分布は、対称であると同時に非常に歪んでいる場合もある。${\displaystyle -1<\lambda <0}$の場合、分布は負に歪んでいます。${\displaystyle 0<\lambda <1}$の場合、分布は正に歪んでいます。${\displaystyle \lambda =0}$そうすれば、分布は対称になります。

ついに、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$分布の尖度を制御する。${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$が小さくなると、尖度が増加する^{[ 1 ]}（つまり、尖度が高くなる）。${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$より平坦な分布が得られる。

させて${\displaystyle X}$は、歪んだ一般化t分布に従う確率変数である。${\displaystyle h^{th}}$瞬間（つまり${\displaystyle E[(X-E(X))^{h}]}$）、 のために${\displaystyle pq>h}$、 は： ${\displaystyle \sum _{r=0}^{h}{\binom {h}{r}}((1+\lambda )^{r+1}+(-1)^{r}(1-\lambda )^{r+1})(-\lambda )^{h-r}{\frac {(v\sigma )^{h}q^{\frac {h}{p}}B({\frac {r+1}{p}},q-{\frac {r}{p}})B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{h-r}}{2^{r-h+1}B({\frac {1}{p}},q)^{h-r+1}}}}$

平均は、${\displaystyle pq>1}$、 は：

${\displaystyle \mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-m}$

分散（つまり${\displaystyle E[(X-E(X))^{2}]}$）、 のために${\displaystyle pq>2}$、 は：

${\displaystyle (v\sigma )^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})}$

歪度（つまり${\displaystyle E[(X-E(X))^{3}]}$）、 のために${\displaystyle pq>3}$、 は：

${\displaystyle {\frac {2q^{3/p}\lambda (v\sigma )^{3}}{B({\frac {1}{p}},q)^{3}}}{\Bigg (}8\lambda ^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{3}-3(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)}$

${\displaystyle \times B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})+2(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}}){\Bigg )}}$

尖度（つまり${\displaystyle E[(X-E(X))^{4}]}$）、 のために${\displaystyle pq>4}$、 は：

${\displaystyle {\frac {q^{4/p}(v\sigma )^{4}}{B({\frac {1}{p}},q)^{4}}}{\Bigg (}-48\lambda ^{4}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{4}+24\lambda ^{2}(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}$

${\displaystyle \times B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})-32\lambda ^{2}(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}})}$

${\displaystyle +(1+10\lambda ^{2}+5\lambda ^{4})B({\frac {1}{p}},q)^{3}B({\frac {5}{p}},q-{\frac {4}{p}}){\Bigg )}}$

歪んだ一般化誤差分布（SGED）の確率密度関数は以下のとおりです。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SGED}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma [1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m)]}}\right)^{p}}}$

どこ

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2^{\frac {2}{p}}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})}{\sqrt {\pi }}}}$

平均値は${\displaystyle \mu }$。 また

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\pi \Gamma ({\frac {1}{p}})}{\pi (1+3\lambda ^{2})\Gamma ({\frac {3}{p}})-16^{\frac {1}{p}}\lambda ^{2}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})^{2}\Gamma ({\frac {1}{p}})}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

一般化t分布（GT）の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{GT}}(x;\mu ,\sigma ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{p}}{q(v\sigma )^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}}$

どこ

${\displaystyle v={\frac {1}{q^{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {\frac {B({\frac {1}{p}},q)}{B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

歪んだt分布（ST）の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{ST}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,q)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+q)}{v\sigma (\pi q)^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu +m\right|^{2}}{q(v\sigma )^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{2}}}\right]^{{\frac {1}{2}}+q}}}}$

どこ

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{2}}\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)}}}$

平均値は${\displaystyle \mu }$。 また

${\displaystyle v={\frac {1}{q^{\frac {1}{2}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {1}{2q-2}}-{\frac {4\lambda ^{2}}{\pi }}\left({\frac {\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\Gamma (q)}}\right)^{2}}}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

歪んだラプラス分布（SLaplace）の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}1,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SLaplace}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{2v\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}}}$

どこ

${\displaystyle m=2v\sigma \lambda }$

平均値は${\displaystyle \mu }$。 また

${\displaystyle v=[2(1+\lambda ^{2})]^{-{\frac {1}{2}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

一般化誤差分布（GED、一般化正規分布とも呼ばれる）の確率密度関数は次のようになる。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{GED}}(x;\mu ,\sigma ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{p}}}$

どこ

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\Gamma ({\frac {1}{p}})}{\Gamma ({\frac {3}{p}})}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

歪んだ正規分布（SNormal）の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{SNormal}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}e^{-\left[{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}\right]^{2}}}$

どこ

${\displaystyle m=\lambda v\sigma {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$

平均値は${\displaystyle \mu }$。 また

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\pi }{\pi -8\lambda ^{2}+3\pi \lambda ^{2}}}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

この分布は、歪正規分布や他の非対称バージョンと混同してはならない。実際、ここでの分布は、左右の幅がに比例するバイガウス分布の特殊なケースである。${\displaystyle 1-\lambda }$そして${\displaystyle 1+\lambda }$。

スチューデントのt分布（T）の確率密度関数は以下のとおりです。

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu {=}0,\sigma {=}1,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {d}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{T}}(x;d)={\frac {\Gamma ({\frac {d+1}{2}})}{(\pi d)^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {d}{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{d}}\right)^{-{\frac {d+1}{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$交代した。

歪んだコーシー分布（SCauchy）の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{SCauchy}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{2}}{\sigma ^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu ))^{2}}}\right]}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$そして${\displaystyle m=0}$交代した。

歪んだコーシー分布の平均、分散、歪度、尖度はすべて定義されていません。

ラプラス分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}1,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{Laplace}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu |}{\sigma }}}}$

${\displaystyle v=1}$交代した。

一様分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)}$

${\displaystyle =f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2v\sigma }}&|x-\mu |<v\sigma \\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$

したがって、標準的な均一パラメータ化は次の場合に得られます。${\displaystyle \mu ={\frac {a+b}{2}}}$、${\displaystyle v=1}$、 そして${\displaystyle \sigma ={\frac {b-a}{2}}}$。

正規分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q)}$

${\displaystyle =f_{\text{Normal}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{2}}}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}}$

どこ

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$

分散を与える${\displaystyle \sigma ^{2}}$。

コーシー分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle =f_{\text{Cauchy}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}}$交代した。