多因子モデル

数理ファイナンスにおいて、複数ファクターモデルは金融資産の評価のための割引率を推定するために使用できる資産価格決定モデルであり、ポートフォリオリスクの管理にも使用できます。これらは通常、単一ファクター資本資産価格決定モデル(CAPM) の拡張です。

マルチファクター株式リスクモデルは、バー・ローゼンバーグとヴィナイ・マラテによって最初に開発された。^[1]当初、彼らはベータの線形モデルを提案した 。

                            ${\displaystyle r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)}$
                                     ${\displaystyle b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

ここで、は期間 における株式資産の収益、はリスクフリー収益、は市場指数収益、は市場残差収益、 は時刻 t 以前の履歴に対する時系列回帰によるパラメータ適合です。次に、はファンダメンタルおよびテクニカル データから計算されたリスク エクスポージャー値、は各期間のクロスセクション回帰によって決定されたファクター収益、は回帰残差です。このモデルは、Rosenberg らによって資産収益の直接モデルに再定式化されました。 ${\displaystyle r(i,t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [t,t+1]}$${\displaystyle r(0,t)}$${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle e(i,t)}$${\displaystyle b(i,t)}$${\displaystyle X(i,j,t)}$${\displaystyle f(j,t)}$${\displaystyle g(i,t)}$

                              ${\displaystyle r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(i,j)+e(i,t)}$

ここでは、ファクターリターンと特定リターンは、代表的な資産ユニバースの各期間における加重回帰によって適合されます。たとえば、モデルは、時価総額上位3000の米国普通株に適合する可能性があります。モデルの主な用途は、資産リターンの資産ごとの共分散行列を次の式で 推定することです。${\displaystyle f(j,t)}$${\displaystyle e(i,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C}$

                                       ${\displaystyle C=XFX^{t}+D}$

ここで、はファクターリターンの共分散行列であり、は特定のリターンのブロック対角行列である。この行列は、2次効用関数を最大化するマルコウィッツポートフォリオ構築に使用される。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$

                                     ${\displaystyle u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch}$

資産保有のベクトルに対する線形制約に従います。ここで、a は期待収益のベクトルであり、はリスク回避と呼ばれるスカラーパラメータです。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

Nicolo G. Torre はこのフレームワークにいくつかの改良を加え、これらの手段で達成可能なリスク管理を大幅に強化しました。^[2] Rosenberg のモデルでは、リスク インデックス X は業種ウェイトとリスク インデックスで構成されていました。各資産には、たとえば企業のバランス シートまたは損益計算書の業種セグメントの内訳に基づいて、1 つ以上の業種へのエクスポージャーが与えられます。これらの業種エクスポージャーは、各資産について合計 1 になります。したがって、モデルには明示的な市場要因はなく、市場リターンが業種リターンに投影されていました。Torre はこのスキームを修正し、明示的な市場要因 (各資産の単位エクスポージャー付き) を導入しました。モデルを識別し続けるために、業種要因リターンが各期間で合計 0 になるという条件を課しました。したがって、モデルは次のように推定されます。

                                ${\displaystyle f(i,t)=m(t)+\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

対象となる

                                    ${\displaystyle \sum _{k}f(k,t)=0}$全ての${\displaystyle t}$

ここで、合計は産業要因です。ここで、m(t)は市場リターンです。市場要因を明示的に特定することで、TorreはRobert EngleとTim BollerslevによるレバレッジGARCH(1,1)モデルを使用してこの要因の分散を推定することができました。

                                    s^2(t)=w+as^2(t-1)+ b1 fp(m(t-1))^2 + b2 fm(m(t-1))^2

ここ

                       fp(x)=x（x>0の場合）
                                 x<=0 の場合は 0

                       x>=0 の場合、fm(x)=0
                                  x<0 の場合の x

w、a、b1、b2 は、最大尤度法を使用した長期時系列推定から適合されたパラメータです。このモデルは、F の更新に組み込まれた市場変動の迅速な更新を提供し、より動的なリスク モデルをもたらします。特に、市場が混乱している期間にポートフォリオで発生する資産収益の収束と、その結果としての分散の喪失を考慮します。

リスク モデルでは、市場の影響を考慮した後、産業要因が説明力の約半分を占めます。しかし、ローゼンバーグは産業グループをどのように定義するかという問題を解決せず、従来の産業セットに単純に頼ることを選択しました。産業セットの定義は分類法における問題です。基本的な難しさは、産業はそれに割り当てられたメンバーによって定義されますが、個々の株式をどの産業に割り当てるべきかがしばしば不明瞭であることです。狭く定義された産業を多数導入することで難しさは軽減できますが、このアプローチはリスク推定の要求と矛盾します。堅牢なリスク推定のためには、各産業が時価総額の数パーセントを占め、産業最大の企業によって独占されていない、適度な数の産業が好まれます。トーレは、狭く定義された数百のミニ産業を導入し、ガイド付きクラスタリング手法を適用してミニ産業をリスク推定に適した産業グループに組み合わせることで、この問題を解決しました。

初期の Rosenberg アプローチでは、因子と特定のリターンは正規分布していると想定されていました。しかし、経験上、正規分布で当てはめるには大きすぎ、頻度が高すぎる外れ値が多数見つかります。GARCH 市場因子の導入により、この困難さは部分的に軽減されますが、完全になくなるわけではありません。Torre は、リターン分布を正規分布とジャンプ分布の混合としてモデル化できることを示しました。因子が 1 つの場合、混合モデルは簡単に記述できます。各期間 t には、バイナリ混合変数 b(t) があります。b(t)=0 の場合、その期間の因子リターンは正規分布から取得され、b(t)=1 の場合はジャンプ分布から取得されます。Torre は、因子で同時ジャンプが発生することを発見しました。したがって、多変量の場合は、多変量ショック ベクトル w(i,t) を導入する必要があります。ここで、多変量​​混合変数 b(i,t)=0 の場合は w(i,t)=0、b(i,t)=1 の場合は i 番目のジャンプ分布から w(i,t) を取得します。次に、伝達行列 T は、ショック空間からファクター空間に w をマッピングします。 Torre は、市場、ファクター、および特定のリターンはすべて、通常のリターンと低頻度で発生するべき乗法則分布ショックの混合によって説明できることを発見しました。 このモデリングの改良により、極端なイベントに関するモデルのパフォーマンスが大幅に向上します。 そのため、市場の混乱期間中に、より予想どおりに動作するポートフォリオの構築が可能になります。

マルチファクターリスクモデルはもともと米国株式市場向けに開発されたが、他の株式市場や、債券や株式オプションなどの他の種類の証券にも急速に拡張された。そこで、マルチアセットクラスのリスクモデルをどのように構築するかという問題が生じる。最初のアプローチは、世界の株式市場を対象に、ベッカーズ、ラッド、ステフェックによってなされた。彼らは、通貨、国、世界の産業、世界のリスク指数を含むモデルを推定した。このモデルは、最初に国を選択し、次に国内の資産を選択するというトップダウンのプロセスで構築されたポートフォリオではうまく機能した。このモデルは、最初に国の専門家が国内のポートフォリオを選択し、次にグローバルオーバーレイを適用するというボトムアップのプロセスで構築されたポートフォリオでは、あまりうまくいかなかった。さらに、単一国のポートフォリオに適用されたグローバルモデルは、多くの場合、ローカル市場モデルと矛盾していた。トーレは、2段階の因子分析を導入することでこれらの問題を解決した。最初の段階では、一連のローカル因子モデルを、よく知られた形式のものに当てはめて、因子収益率f(i,j,t)のセットを生成します。ここで、f(i,j,t)は、tにおけるj番目のローカルモデルの因子iの収益率です。次に、因子収益率は、次の形式の第2段階モデル​​に当てはめられます。

                                 ${\displaystyle f(i,j,t)=\sum _{k}Y(i,j,k)g(k,t)+h(i,j,t)}$

ここでYはローカルファクター(i,j)のグローバルファクターへのエクスポージャーを表し、グローバルファクターのリターンはg(k,t)、h(i,j,t)はローカルファクターのリターンである。ファクターリターンの共分散行列は次のように推定される。 ${\displaystyle k^{t}h}$

${\displaystyle \mathbf {F=YGY^{t}+H} }$

ここで、G はグローバル ファクターの共分散行列、H はローカル特定ファクター リターンのブロック対角共分散です。このモデリング アプローチでは、任意の数のローカル モデルを結合して、包括的なマルチ資産クラス分析を提供できます。これは、グローバル株式ポートフォリオや企業全体のリスク管理に特に関連しています。

上で説明した改良を加えたマルチファクター リスク モデルは、専門家が管理するポートフォリオのリスクを管理する主な方法です。世界の資本の半分以上がこのようなモデルを使用して管理されていると推定されています。

多くの学者が、かなり少数のパラメータで因子モデルを構築しようと試みてきました。これには次のものが含まれます。

• ファーマ・フレンチ3因子モデル
• カーハート4因子モデル
• 裁定価格理論

しかし、ファクターがいくつあるかについてはまだ一般的な合意はありません。^[3] MSCIやゴールドマンサックスの資産運用ファクターモデルなど、数多くの市販モデルが利用可能です。^[4]