ねじれた多項式環

数学において、ねじれ多項式は、フロベニウス写像を表す変数の特性体上の多項式である。通常の多項式とは対照的に、これらの多項式の乗算は可換ではないが、交換規則を満たす。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$

ベースフィールド内の すべてのものに対して。${\displaystyle x}$

無限体上では、ねじれ多項式環は加法多項式の環と同型ですが、後者の乗算は通常の乗算​​ではなく合成によって与えられます。ただし、ねじれ多項式環での計算の方が簡単な場合が多く、これは特にドリンフェルト加群の理論に応用できます。

を特性 の体とします。ねじれ多項式環は、変数 の多項式と の係数の集合として定義されます。これは、通常の加算を伴う環構造を備えていますが、に対する関係式でまとめられる非可換乗算を備えています。この関係式を繰り返し適用すると、任意の 2 つのねじれ多項式の乗算の公式が得られます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k\{\tau \}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$${\displaystyle x\in k}$

例として、このような乗算を実行します

${\displaystyle (a+b\tau )(c+d\tau )=a(c+d\tau )+b\tau (c+d\tau )=ac+ad\tau +bc^{p}\tau +bd^{p}\tau ^{2}}$

モルフィズム

${\displaystyle k\{\tau \}\to k[x],\quad a_{0}+a_{1}\tau +\cdots +a_{n}\tau ^{n}\mapsto a_{0}x+a_{1}x^{p}+\cdots +a_{n}x^{p^{n}}}$

は、ねじれた多項式を加法多項式に当てはめる環準同型を定義する。ここで、右辺の乗算は多項式の合成によって与えられる。例えば、

${\displaystyle (ax+bx^{p})\circ (cx+dx^{p})=a(cx+dx^{p})+b(cx+dx^{p})^{p}=acx+adx^{p}+bc^{p}x^{p}+bd^{p}x^{p^{2}},}$

特徴として、私たちは新入生の夢を持っているという事実を利用します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

準同型は明らかに単射であるが、 が無限大のときのみ射影的である。が有限のときに射影性が失われるのは、 にゼロ関数を誘導する非ゼロ多項式が存在するためである（例えば、元を持つ有限体上）。^[要出典]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x^{q}-x}$${\displaystyle q}$

この環は可換ではありませんが、それでも（左と右の）除算アルゴリズムを持っています。

• Goss, D. (1996)、関数フィールド算術の基本構造、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 35、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-61087-8、MR  1423131、Zbl  0874.11004
• ローゼン、マイケル（2002）、関数体における数論、Graduate Texts in Mathematics、vol. 210、Springer-Verlag、ISBN 0-387-95335-3、ISSN  0072-5285、Zbl  1043.11079