ビームと加温スキーム

数値数学において、ビーム・ウォーミング法またはビーム・ウォーミング暗黙法は、 1978年にリチャード・M・ビームとRFウォーミングによって導入された^{[1] [2]} 2次精度の暗黙法であり、主に非線形双曲型方程式を解くために使用される。現在ではあまり使用されていない。

この方式は空間的に因数分解された非反復的なADI方式であり、暗黙のオイラー法を使用して時間積分を実行します。アルゴリズムはデルタ形式であり、テイラー級数の実装によって線形化されます。したがって、保存された変数の増分として観察されます。これにより、空間クロス導関数を明示的に評価することで、効率的な因数分解アルゴリズムが得られます。これにより、この計算アルゴリズムを使用して、方式の直接導出と効率的なソリューションが可能になります。この効率性は、3 つの時間レベルの方式であるにもかかわらず、2 つの時間レベルのデータ ストレージのみを必要とするためです。これにより、無条件の安定性が得られます。これは中心化されており、数値安定性を保証するために人工散逸演算子が必要です。^[1]

生成された方程式のデルタ形式は、時間ステップのサイズに依存しない安定性（存在する場合）という有利な特性を持っています。^[3]

1次元の 非粘性バーガース方程式を考える

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-u{\frac {\partial u}{\partial x}}\quad {\text{with }}x\in R}$

保存形式のバーガース方程式、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

どこ ：${\displaystyle E={\frac {u^{2}}{2}}}$

の拡張:${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac {1}{2}}\left[\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n}+\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n+1}\right]\,\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

これは台形公式としても知られています。

${\displaystyle \therefore {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}\left(\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n+1}+\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[A(u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n})\right]\right)}$

${\displaystyle \because {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

この式では、

${\displaystyle A={\frac {\partial E}{\partial u}}=u}$

結果として得られる三角対角線システム:

${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n+1}\right)+u_{i}^{n+1}+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n+1}\right)\\[6pt]={}&u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(E_{i+1}^{n}-E_{i-1}^{n}\right)+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n}-A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n}\right)\end{aligned}}}$

この線形方程式系は、トーマスアルゴリズムとしても知られる修正三角行列アルゴリズムを使用して解くことができます。 ^[4]

衝撃波の条件下では、このような非線形双曲方程式には散逸項が必要です。これは、解を制御し、解の収束を維持するために行われます。

${\displaystyle D=-\varepsilon _{e}(u_{i+2}^{n}-4u_{i+1}^{n}+6u_{i}^{n}-4u_{i-1} ^{n}+u_{i-2}^{n})}$

この項は、右側の レベルで明示的に追加されます。これは、高周波振動が観測され、抑制する必要がある計算を成功させるために常に使用されます。${\displaystyle n}$

安定した解のみが必要な場合、右辺の方程式では、2次の平滑化項が暗黙の層に追加されます。同じ方程式の他の項は、安定解に影響を与えないため、2次であってもかまいません。

${\displaystyle \nabla ^{n}(U)=0}$

平滑化項を追加すると、必要なステップ数が 3 つ増加します。

この方式は、台形公式、線形化、因数分解、Padt空間差分、フラックスベクトルの同次特性（該当する場合）、ハイブリッド空間差分を組み合わせて作成され、保存則形式の非線形システムに最適です。ADIアルゴリズムは、方程式系の帯域幅を減らしながら、精度の順序と定常状態の特性を維持します。^[5] 方程式の安定性は

${\displaystyle L^{2}}$CFL下で安定:${\displaystyle |a|\,\Delta t\leq 2\,\Delta x}$

切り捨て誤差の順序は

${\displaystyle O((\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2})}$

結果は滑らかで、かなりのオーバーシュートがあります (時間の経過とともにあまり増加しません)。