シャピロの補題

数学、特に群コホモロジーや相対ホモロジー代数を扱う抽象代数の分野において、シャピロの補題（エックマン・シャピロの補題とも呼ばれる）は、ある環上の加群の拡大を別の環上の拡大、特に群と部分群の群環上の拡大に関連付ける。つまり、群に関する群コホモロジーを部分群に関するコホモロジーに関連付ける。シャピロの補題は、1961年に証明したアーノルド・S・シャピロにちなんで名付けられたが、^[1]ベノ・エックマンは1953年にこれをより早く発見していた。^[2]

R → S を環準同型とすると、S は左および右のR加群になります。M を左S加群、N を左R加群とします。スカラーの制限により、Mも左R加群になります。

• S が右R加群として射影的である場合、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,{}_{R}M)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(S\otimes _{R}N,M)}$

• S が左R加群として射影的である場合、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}({}_{R}M,N)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(M,\operatorname {Hom} _{R}(S,N))}$

(Benson 1991, p. 47) を参照。射影条件は、特定の Tor 群または Ext 群が消滅するという条件に弱めることができる。(Cartan & Eilenberg 1956, p. 118, VI.§5) を参照。

H がGの有限指数の部分群である場合、群環R [ G ] は左および右R [ H ] 加群として有限生成射影的であるため、前の定理が単純に適用されます。M をGの有限次元表現、NをHの有限次元表現とします。この場合、加群S ⊗ _R N はHからGへのNの誘導表現と呼ばれ、_R M はGからHへのMの制限表現と呼ばれます。次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{G}^{n}(M,N\uparrow _{H}^{G})\cong \operatorname {Ext} _{H}^{n}(M\downarrow _{H}^{G},N)}$

n = 0のとき、これは完全に可約なモジュールに対するフロベニウスの相互性、および一般に中山の相互性と呼ばれます。(Benson 1991、p. 42) を参照してください。これには、Mackey 分解のこれらの高次のバージョンも含まれています。

M を自明なモジュールに特殊化すると、おなじみのシャピロの補題が得られます。HをGのサブグループ、N をH の表現とします。N に対して、テンソル積を使用したHからGへのNの誘導表現はG^であり、H に対しては群ホモロジー です。 _{${\displaystyle \ast }$}

H ( G , N ^G ) = H ( H , N )_{${\displaystyle \ast }$${\displaystyle \ast }$}

同様に、N ^GについてはHom 関手 を使用したHからGへのNの共誘導表現、H については群コホモロジーです。 ^{${\displaystyle \ast }$}

H ( G , N ^G ) = H ( H , N )^{${\displaystyle \ast }$${\displaystyle \ast }$}

H がGにおいて有限の指数を持つ場合、誘導表現と共誘導表現は一致し、補題はホモロジーおよびコホモロジー両方に対して有効です。

（Weibel 1994、p.172）を参照。

• 指輪の交換

• ベンソン、デイビッド・J.（1991）、表現とコホモロジー。I、ケンブリッジ高等数学研究、第30巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36134-7、MR  1110581
• カルタン、アンリ、アイレンバーグ、サミュエル（1956）、ホモロジー代数、プリンストン大学出版局
• エックマン、ベノ(1953)、「群のコホモロジーと転移」、数学年報、第 2 シリーズ、58 (3): 481–493、doi :10.2307/1969749、JSTOR  1969749、MR  0058600。
• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001、59ページ
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.