実数直線の集合論

実数直線の集合論は、実数の側面への集合論の応用に関する数学の分野です。

たとえば、実数 の可算 集合はすべてヌル、つまりルベーグ測度が0 であることはわかっています。したがって、ルベーグ ヌルではない集合の最小のサイズを問うことができます。この不変量はヌル集合のイデアルの一様性と呼ばれ、 と表記されます。このイデアルやその他のイデアルに関連するこのような不変量は多数あります。たとえば、希薄集合のイデアルや、イデアルによる特徴付けがないイデアルなどです。連続体仮説(CH) が成り立つ場合、このような不変量はすべて、最小の非可算基数である に等しくなります。たとえば、 は非可算 であることがわかっていますが、CH の下での実数 の何らかの集合のサイズであるため、最大で になることがあります。 ${\displaystyle non({\mathcal {N}})}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle non({\mathcal {N}})}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

一方、マーティンの公理(MA) を仮定すると、すべての共通不変量は「大きい」、つまり連続体の濃度に等しくなります。マーティンの公理は と整合しています。実際、マーティンの公理は、 特定のクラスの特定の強制 ( ccc を満たすもの) を行う必要性を否定する強制公理と見なすべきです。これは、MA と大きな連続体との整合性は、そのような強制をすべて行うことで証明されるからです (十分であることが示された特定のサイズまで)。各不変量は、何らかの ccc 強制によって大きくすることができるため、MA が与えられると、それぞれが大きくなります。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{1}}$

特定の強制力に制限すると、一部の不変量は大きくなり、他の不変量は小さいままになります。これらの効果を分析することがこの分野の主要な研究であり、不変量間のどの不等式が証明可能で、どれが ZFC と矛盾するかを判断しようとしています。測度(ヌル集合) とカテゴリ (貧弱集合)のイデアル間の不等式は、 Cichon の図に表されています。1980 年代には、Arnold Miller の研究に始まり、他の不等式は証明できないことを示す 17 のモデル (強制構成) が作成されました。これらは、この分野の著名な研究者である Tomek Bartoszynski と Haim Judah による本で詳細に分析されています。

興味深い結果の 1 つは、実数直線を希薄集合 (ただし) で覆うことができる場合、 となることです。逆に、実数直線を空集合で覆うことができる場合、最小の非希薄集合のサイズは少なくとも となります。これらの結果は両方とも、希薄集合と空集合の和 集合としての の分解の存在から生じます。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \aleph_{1}\leq\kappa\leq{\mathfrak{c}}}$${\displaystyle non({\mathcal {N}})\geq \kappa }$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この地域の最後の大きな未解決の問題の一つは、

${\displaystyle {\mathfrak {d}}<{\mathfrak {a}},}$

1998年にサハロン・シェラによって証明されました。

• チチョンの図
• 基数不変量

• Bartoszynski, Tomek & Judah, Haim集合論: 実数直線の構造についてA. K. Peters Ltd. (1995). ISBN  1-56881-044-X
• ミラー、アーノルド測度とカテゴリーのいくつかの性質アメリカ数学会誌、266(1):93-114、(1981)