自己番号

数論において、与えられた基数における自己数またはデヴラリ数は、他の自然数と の個々の桁との和として表すことができない自然数である。20 は自己数である (基数 10)。なぜなら、そのような組み合わせは見つからないからである (すべて20 未満の結果を与え、その他すべて20 より大きい結果を与える)。21 は自己数ではない。n = 15を使用して 15 + 1 + 5 と表すことができるからである。これらの数は、1949 年にインドの数学者D. R. カプレカーによって初めて記述された。^[1] ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n<15}$${\displaystyle n}$

を自然数とします。基数に対する- self 関数を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.}$

ここで はを底とする数の桁数であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は、数の各桁の値です。の逆像が空集合である場合、自然数は-自己数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$

一般に、偶数基数の場合、基数以下の奇数はすべて自己数である。なぜなら、そのような奇数以下の数は、その桁に加えると偶数になる1桁の数でなければならないからである。奇数基数の場合、すべての奇数は自己数である。[ ^2]

与えられた基数における自己数の集合は無限であり、正の漸近密度を持つ。が奇数のとき、この密度は1/2である。^[3]${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

2 進数の自己番号については、 OEIS :A010061を参照してください。(10 進数で記述)

最初のいくつかの 10 進数の自己番号は次のとおりです。

1、3、5、7、9、20、31、42、53、64、75、86、97、108、110、121、132、143、154、165、176、187、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​198、209、211、222、233、244、255、266、277、288、299、310、312、323、334、345、356、367、378、389、400 、​​​​​​​​​​​​​​​​ ​411、413、424、 435、446、457、468、479、490、...（OEISの配列A003052）

自己素数とは、それ自体が素数である数です。

10進数の最初のいくつかの素数は

3、5、7、31、53、97、211、233、277、367、389、457、479、547、569、613、659、727、839、883、929、1021、1087、1109、1223、1289、1447、1559、1627、1693、1783、1873、...（OEISのシーケンスA006378）

• Kaprekar, DR新しい自己数の数学Devaiali (1963): 19 - 20。
• RB Patel (1991)。「 k自己数のいくつかのテスト」。数学学生。56 : 206–210。
• B. Recaman (1974). 「問題 E2408」.アメリカ数学月刊. 81 (4): 407. doi :10.2307/2319017. JSTOR  2319017.
• サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 32～36ページ。ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001  。​
• Weisstein、Eric W.「Self Number」。MathWorld。