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代数学において、シュレッシンジャーの定理は、シュレッシンジャー (1968)によって導入された変形理論の定理であり、グロタンディークの以前の定理を改良して、アルティン局所環の関数がpro-representable となる条件を与えている。
定義
Λ は剰余体kを持つ完全なノイザン局所環であり、C は剰余体kを持つ局所アルティニアン Λ 代数（特に Λ 上の加群として有限生成かつアルティニアンであることを意味する）のカテゴリである。
Cの小さな拡張は、 k上の1 次元ベクトル空間を核とする、 Cの射Y → Zです。
関数は、あるXに対してh X ( Y )=hom( X , Y )となる形式h Xである場合に表現可能と呼ばれ、あるフィルタされた順序付き集合におけるi上のフィルタされた直接極限に対してY →lim hom( X i , Y )となる形式である場合にプロ表現可能と呼ばれます。
Cから集合への関手F → Gの射は、 Y → Z がCの射影であるときはいつでも、F ( Y )からF ( Z )× G ( Z ) G ( Y ) への写像が射影的であるとき、滑らかであると呼ばれます。この定義は、スキームの形式的に滑らかな射の概念と密接に関連しています。さらに、FとGの接空間間の写像が同型である場合、F はGの包と呼ばれます。
グロタンディークの定理
グロタンディーク (1960、命題 3.1) は、アルティン代数のカテゴリCから集合への関数が、すべての有限の極限を保存する場合のみ、前表現可能であることを示した。この条件は、関数がプルバックと最終オブジェクトを保存することを求めることと同等である。実際、グロタンディークの定理は、アルティン代数のカテゴリCだけでなく、オブジェクトがアルティンである有限の極限を持つ任意のカテゴリにも適用される。
線形位相化された局所環のより大きなカテゴリで、代数表現可能な関数の射影極限を取ることによって、関数を表す完全な線形位相化された局所環が得られます。
シュレッシンジャーの表現定理
グロタンディークの定理を適用する際の難しさの 1 つは、関数がすべてのプルバックを保存するかどうかを確認するのが難しい場合があることです。シュレッシンジャーは、関数が特殊な形式のプルバックを保存することを確認するだけで十分であり、これは多くの場合、確認が容易であることを示しました。シュレッシンジャーの定理は、関数が表現可能でなくても、関数が包を持つ条件も示しています。
シェシンガーの定理は、 C上の集合値関数F が、すべてのnに対してR / m nがCに含まれるような最大イデアルmを持つ完全な局所 Λ-代数Rによって表現可能であるための条件を与えます。
シュレッシンジャーの定理は、CからF ( k ) が 1 要素集合である集合への関数が、以下の性質を持つ場合、完全なノイザン局所代数で表現可能であり、最初の 3 つの性質を持つ場合、包を持つということを述べています。
- H1: Z → X がCの小さな拡大であり、Y → XがCの何らかの射であるとき、写像F ( Y × X Z )→ F ( Y )× F ( X ) F ( Z ) は射影的である。
- H2: H1の写像は、Z → Xが小さな拡大k [ x ]/( x 2 )→ kであるときはいつでも、一対一である。
- H3: Fの接空間はk上の有限次元ベクトル空間です。
- H4: Y = ZがXの小さな拡張であり、 YとZからXへの写像が同じである場合、H1 の写像は全単射です。