回転不変性

例えば、関数

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

は原点を中心とした平面の回転に対して不変である。なぜなら、任意の角度θだけ回転した座標系に対して

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

項をいくつか消去した後、関数は全く同じ形になる。

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

座標の回転は、回転行列を使用して行列形式で表現できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}},}$

または記号的に、x ′ = Rx。記号的に、2 つの実変数の実数値関数の回転不変性は

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

つまり、回転後の座標の関数は、元の座標の関数と全く同じ形式をとります。唯一の違いは、回転後の座標が元の座標に置き換わる点です。3つ以上の実変数を持つ実数値関数の場合、この式は適切な回転行列を用いることで容易に拡張できます。

この概念は、1つ以上の変数を持つベクトル値関数fにも拡張される。

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )。}$

上記のすべての場合において、回転するのは関数自体ではなく、引数（ここでは分かりやすくするために「座標」と呼ぶ）である。

関数の場合

${\displaystyle f:X\rightarrow X,}$

これは実数直線の部分集合Xの要素をマッピングする。${\displaystyle \mathbb {R} }$回転不変性は、関数がXの要素の回転と可換であることを意味する場合もある。これは、そのような関数に作用する演算子にも当てはまる。例として、2次元ラプラス演算子が挙げられる。

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},}$

これは関数fに作用して別の関数 ∇ ² fを得る演算子です。この演算子は回転に対して不変です。

gが任意の回転Rに対してg ( p ) = f ( R ( p ))という関数である場合、(∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p )) となります。つまり、関数を回転させると、そのラプラシアンが回転するだけです。

量子力学において、回転不変性とは、回転後も新しい系がシュレーディンガー方程式に従う性質のことである。つまり、

${\displaystyle [R,EH]=0}$

任意の回転Rに対して。回転は時間に直接依存しないため、エネルギー演算子と可換です。したがって、回転不変性のためには [ R , H ] = 0 でなければなりません。 

角度dθによる微小回転(この例ではxy平面内。他の平面でも同様に可能)の場合、(微小) 回転演算子は次のようになります。

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

それから

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

したがって

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

言い換えれば、角運動量は保存される。