レイリー・ジーンズの法則

物理学において、レイリー・ジーンズの法則は、与えられた温度における黒体からの電磁放射のスペクトル放射輝度を、古典的な議論によって波長の関数として近似したものである 。波長λの場合、これは であり、 はスペクトル放射輝度（単位放射面積あたり、ステラジアンあたり、単位波長あたりに放射される電力）、は光速、はボルツマン定数、 はケルビン単位の温度である。周波数の場合、式は代わりに $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}},}$$${\displaystyle B_{\lambda}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu}$$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}k_{\text{B}}T}{c^{2}}}.}$$

レイリー・ジーンズの法則は、長波長（低周波）では実験結果と一致するが、短波長（高周波）では大きく矛盾する。この観測と古典物理学の予測との不一致は、一般に紫外線カタストロフィーとして知られている。^{[1] [2]すべての周波数で正しい放射を与える} プランクの法則は、レイリー・ジーンズの法則をその低周波極限としている。

1900年、イギリスの物理学者レイリー卿は、等分配定理に依拠し、古典的な物理的議論に基づいてレイリー・ジーンズの法則のλ ⁻⁴依存性を導出した。この法則は、波長がゼロに近づくにつれて（周波数が無限大に向かうにつれて）、エネルギー出力が無限大に発散することを予測した。実際の黒体のスペクトル放射の測定により、放射は低周波数ではレイリーの計算と一致するが、高周波数では発散し、最大値に達した後、周波数とともに低下するため、放出される総エネルギーは有限であることが明らかになった。レイリーは、高周波数での彼の式の非物理的な動作を認識し、それを修正するためにアドホックなカットオフを導入したが、実験者は彼のカットオフがデータと一致しないことを発見した。^{[1] [3]}ヘンドリック・ローレンツも1903年に波長依存性の導出を発表した。比例定数を含むより完全な導出は、1905年にレイリーとサー・ジェームズ・ジーンズによって、またアルバート・アインシュタインによって独立に発表された。^[3]レイリーは、この矛盾は等分配定理が高周波振動には当てはまらないことで解決できると信じていたが、ジーンズは根本的な原因は物質と光伝導エーテルが熱平衡状態にないことにあると主張した。^[3]

レイリーは1900年6月に周波数依存性の最初の導出を発表しました。プランクは同年10月に現在プランクの法則として知られる曲線を発見し、12月に発表しました。^[3]プランクの当初の意図は、高周波数でのデータを正確に表すウィーンの黒体放射曲線の表現の満足のいく導出を見つけることでした。プランクはウィーンの当初の導出が不十分であることに気づき、独自の導出を考案しました。その後、最新の実験結果が低周波数での予測と一致しないことを知った後、プランクは計算を修正し、現在プランクの法則と呼ばれるものを得ました。^[4]

1900 年にマックス プランクは、黒体放射を波長λ = c / νで表す式(プランクの法則) を経験的に得ました。 ここで、hはプランク定数、k _{B は}ボルツマン定数です。プランクの法則は紫外線災害の影響を受けず、実験データとよく一致しますが、その完全な重要性 (最終的に量子論につながった) が認識されたのは数年後のことでした。それ以来 、高温または長波長の極限では、指数関数の項は小さくなり、指数関数はテイラー多項式の1 次項 で十分に近似されます。$${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}},}$$$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}\approx 1+{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}.}$$

それで $${\displaystyle {\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {1}{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}}={\frac {\lambda k_{\text{B}}T}{hc}}.}$$

この結果、プランクの黒体公式は次のように簡約され、 これは古典的に導出されたレイリー・ジーンズの式と同一になります。 $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}},}$$

同じ議論は、周波数ν = c / λで表される黒体放射にも当てはまります。小さな周波数の限界では、つまり、 ${\displaystyle h\nu \ll k_{\text{B}}T}$$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {k_{\text{B}}T}{h\nu }}={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.}$$

この最後の表現は、小さな周波数の限界におけるレイリー・ジーンズの法則です。

レイリー・ジーンズの法則の周波数依存式と波長依存式を比較する場合、 と を覚えておくことが重要です 。 波長の ステップは周波数のステップと同じではないため、これら 2 つの式の単位は異なることに注意してください。したがって、 値 を代入した後でも、は単位時間あたり、発光面の単位面積あたり、単位立体角あたり、単位波長あたりに放出されるエネルギーの単位を持つため、 になります。一方、 は単位時間あたり、発光面の単位面積あたり、単位立体角あたり、単位周波数あたりに放出されるエネルギーの単位です。一貫性を保つために、 両辺が単位立体角あたり、単位発光面面積あたりの電力 (単位時間あたりに放出されるエネルギー) の単位を持つ等式を使用する必要があります。 $${\displaystyle {\frac {dP}{d\lambda }}=B_{\lambda }(T)}$$$${\displaystyle {\frac {dP}{d\nu }}=B_{\nu }(T).}$$${\displaystyle d\lambda }$${\displaystyle d\nu}$$${\displaystyle B_{\lambda }(T)\neq B_{\nu }(T),}$$${\displaystyle \lambda =c/\nu }$${\displaystyle B_{\lambda }(T)}$${\displaystyle B_{\nu }(T)}$$${\displaystyle B_{\lambda }\,d\lambda =dP=B_{\nu }\,d\nu ,}$$

波長に関するレイリー・ジーンズの法則から始めると、 次の 式 が得られます 。 $${\displaystyle B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T){\frac {d\nu }{d\lambda }},}$$$${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {c}{\lambda }}\right)=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}.}$$$${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2k_{\text{B}}T\left({\frac {c}{\lambda }}\right)^{2}}{c^2}}}\times {\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}.}$$

プランク関数は、用途に応じて3つの異なる形式で表現できます。最初の形式は、単位時間あたり、単位面積あたり、単位立体角あたり、スペクトル単位あたりに放出されるエネルギーです。この形式では、プランク関数と関連するレイリー・ジーンズ限界は、 または で与えられます。$${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}}$$$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{2}}}.}$$

あるいは、プランクの法則は、放射電力を全立体角にわたって積分した式として書くこともできる。この形式では、プランク関数とそれに関連するレイリー・ジーンズ限界は 次 のように表される。${\displaystyle I(\nu ,T)=\pi B_{\nu }(T)}$$${\displaystyle I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2\pi ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}}$$$${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2\pi k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{2}}}.}$$

他の場合には、プランクの法則は単位体積あたりのエネルギー（エネルギー密度）について次のように記述される 。この形式では、プランク関数とそれに関連するレイリー・ジーンズ限界は 次 のように表される。 ${\textstyle u(\nu ,T)={\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$${\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}}$$$${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{3}}}.}$$

• シュテファン・ボルツマンの法則
• ウィーンの変位法則
• ウィーン近似
• 佐久間・服部方程式

• レイリー・ジーンズの法則の導出
• 立方体内の波のモードの導出