無作為投票

無作為投票または無作為独裁制は、無作為に選ばれた単一の投票に基づいて選挙が決定される無作為選挙制度である。 ^{[1] [2]}これに密接に関連する変種は無作為連続（または順次）独裁制と呼ばれ、最初の投票で複数の候補者が同票になった場合に手順を繰り返し、別の投票を行う。

ランダム独裁制は1977年にアラン・ギバードによって初めて説明され、あらゆる状況において戦略不可能でありながらすべての有権者を平等に扱う唯一の社会的選択ルールであることが示されました。 ^[3]選挙への応用は1984年にアキル・リード・アマールによって初めて説明されました。^[4]

このルールが真の選挙制度として提案されることは、ほとんどない。なぜなら、そのような方法は（ギバードの言葉を借りれば）「偶然に任せすぎる」からである。^[5]しかし、このルールは、有権者に正直に投票するよう促すための同点決着の手段としてよく使われ、思考実験として議論されることもある。^[6]

独裁制のルールは明らかに不公平ですが、期待において公平である変種があります。ランダム独裁制 (RD)ルールでは、投票者の 1 人が一様にランダムに選択され、その投票者が最も好む選択肢が選択されます。これは、ランダムな社会的選択の一般的なルールの 1 つです。複数の選挙区の団体で使用される場合、ランダム投票と呼ばれることもあります。

独裁制と同様に、ランダム独裁制も無差別の可能性に対処する必要があります。一般的な解決策は、それをランダムシリアル独裁制（RSD）^{[7] : 6}に拡張することです。これはランダム優先順位とも呼ばれます。このメカニズムでは、投票者のランダムな順列が選択され、各投票者は順番に、まだ利用可能なものの中から、既存の選択肢を最も好むものに絞り込みます。これは、エージェント間で分割不可能なオブジェクトを割り当てる一般的なメカニズムです。ランダム優先順位項目割り当てを参照してください。

アラン・ギバードはランダム独裁定理を証明した。^[8]それによれば、RDは次の3つの性質を満たす唯一の規則である。

• 匿名性: 抽選では、異なる投票者を事前に区別しません。
• 戦略耐性: エージェントによる虚偽の報告は、弱い確率的支配の結果をもたらします。
• 事後パレート効率: 結果はパレート効率的です。
  • 実際、厳格な選好では、RD はSD 効率と呼ばれるより強力な効率特性を満たします。つまり、結果として得られる抽選は確率的に支配されません。弱い選好では、RSD は事後効率を満たしますが、SD 効率に違反します。
  • 厳格な選好があっても、RD は PC 効率性と呼ばれるより強力な特性に違反します。つまり、結果として得られる抽選は、一対比較の意味で支配される可能性があります (各エージェントにとって、別の抽選が RD 抽選よりも優れた選択肢を生み出す確率は、その逆の場合よりも大きい)。

RDはアジェンダ一貫性と呼ばれる性質も満たしている。これは以下の性質を満たす唯一のルールである: ^[9]

• 強い収縮一貫性（「規則性」）：任意の選択肢を削除しても確率は減少しません。
• 事後的な効率性。
• 無関係な選択肢の独立性の確率バージョン。

その後の研究では、代替証明や様々な拡張が提示されている。^{[7] : 15}一つの不可能性結果は、定理を弱い選好に拡張することと関係している。それは、弱い選好では、少なくとも4人のエージェントと4つの選択肢がある場合、匿名性、SD効率性、およびSD戦略耐性の特性が両立しないということを述べている。^[10]

RD は、集団一貫性と呼ばれる公理と、クローン一貫性と呼ばれる公理を満たしますが、構成一貫性に違反します。^{[説明が必要]}

RD と RSD のメカニズムはどちらも、実際には簡単に実装できます。つまり、投票者をランダムに 1 人選ぶか、ランダムな順列を選び、各独裁者に順番に最善の選択肢を選んでもらうだけです。ただし、特定の選択肢が選ばれる確率を事前に計算したい場合もあります。RD (優先順位が厳密な場合) では、これも簡単です。選択肢xが選ばれる確率は、 x を1 位にランク付けした投票者の数を投票者の総数で割った値に等しくなります。ただし、RSD (無差別投票がある場合) では状況が異なります。

• 確率を計算するのは#P困難である。^[11]
• サポート（正の確率で選択される選択肢）を計算するための効率的なアルゴリズムがある。^[11]
• 扱いやすいパラメータ化された複雑性を持つアルゴリズムがあり、パラメータはオブジェクトの数、選択肢の数、投票者のタイプの数である。^[12]
• 部分的承認投票の文脈における確率を計算する指数時間アルゴリズムがある。^{[13] : 付録}

無作為投票を複数選挙区の議員を選ぶために使用すれば、選挙全体で平均的に一種の比例代表制を作り出すことができます。各選挙の勝者が無作為に選ばれると、議会の議席数が増えるにつれて、選出された議会における各政党の代表率は、選挙民全体における実際の投票率にどんどん近づきます。同時に、無作為に選ばれた代表性が非常に低い議会になる可能性は減ります。

たとえば、少数政党が 1% の票を獲得したとします。この政党が 50 人の議会で過半数を獲得する可能性は、ほとんどありません。二項分布を使用すると、確率は次のように表されます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{24}{50 \choose k}\left({\frac {99}{100}}\right)^{k}\left({\frac {1}{100}}\right)^{50-k}=I_{1/100}(26,25)\approx 10^{-38}}$

既存の選挙制度には、同点決着以外にもさまざまなランダム要素があります。

1.候補者をリスト上でランダムに並べる。投票用紙の上位に置かれた候補者は、無関心な有権者（特に義務投票制の選挙の場合）や、特定の政党を強く支持しているがその政党を代表する個々の候補者には無関心な有権者（候補者が 2 人以上いる場合）から、結果として追加票を獲得することがよく観察されます。このため、多くの社会では、従来のアルファベット順の候補者の投票用紙への記載を廃止し、政党による順位付け（オーストラリア上院など）、くじ引き、またはローテーション（タスマニア州とオーストラリア首都特別地域で使用されているヘアクラークSTV-PR システムなど）のいずれかを採用しています。候補者が投票用紙上でくじ引きで並べられると、接戦の場合には ロバ投票の利点が決定的になる可能性があります。

2.移管する票を無作為に選択する。比例代表制の一部の移管式投票（STV）システムでは、当選者の定数を超えた余剰票は、必要な数の投票用紙を無作為に選択することによって移管される。したがって、定数が1,000票の場合、第1優先票を1,200票獲得した候補者は、必要のない余剰票を200票持つことになる。一部のSTVシステム（ 1922年以降のアイルランド、 1918年から1984年までのオーストラリア）では、選挙管理官が1,200票の中から無作為に200票の投票用紙を選択する。しかし、再集計が必要になった場合に再現できないため、この方法は批判されてきた。その結果、オーストラリアは部分的移行の変種、別名「グレゴリー方式」を採用しました。この方法では、1,200 枚の投票用紙すべてが移行されますが、それぞれの投票用紙の価値は 0.1666 (6 分の 1) に減額されます。つまり、1,000 票は当選した候補者に「留まる」ことになりますが、移行された 1,200 枚の投票用紙の価値は 200 票にしか相当しません。

3.勝者をランダムに選ぶ。この方法は抽選と呼ばれます。つまり、投票用紙を選ぶのではなく、投票者からの指示なしに（おそらく指名または選考プロセスを除いて）、くじで直接候補者を選びます。これは無作為投票と同じではありません。無作為投票は、より多くの票を獲得した候補者に有利になるように重み付けされるからです。無作為投票は、すべての候補者が同じ数の票を獲得した場合にのみ、無作為勝者と同じように動作します。

• 抽選
• 独裁の仕組み
• 最大宝くじ