Q構築

代数学において、QuillenのQ 構成は、正確なカテゴリ(たとえば、アーベル カテゴリ)に代数 K 理論を関連付けます。より正確には、正確なカテゴリCが与えられた場合、構成は位相空間を 作成し、はCのグロタンディーク群であり、C が環R上の有限生成射影加群のカテゴリである場合( )、は古典的な意味でRのi番目の K 群です。 (「+」という表記は、構成が分類空間BCにさらに追加することを示唆しています。) ${\displaystyle B^{+}C}$${\displaystyle \pi _{0}(B^{+}C)}$${\displaystyle i=0,1,2}$${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$

${\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}$

これをCのi番目の K 群と呼ぶ。同様に、群Gに係数を持つCのi番目の K 群は、係数を持つホモトピー群として定義される。

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}$。

この構成は広く適用可能であり、非古典的なコンテキストで代数 K 理論を定義するために使用されます。たとえば、スキーム上の 同変層のカテゴリのとして同変代数 K 理論を定義できます。${\displaystyle \pi_{*}}$${\displaystyle B^{+}}$

ヴァルトハウゼンのS構築はQ構築を安定した意味で一般化します。実際、より一般的なヴァルトハウゼンカテゴリを使用する前者は、空間ではなくスペクトルを生成します。グレイソンのバイナリ複体も、正確なカテゴリに対する代数K理論の構成を与えます。^[1]環スペクトルのK理論については、モジュールスペクトル#K理論も参照してください。

C を正確なカテゴリ、つまり拡大に対して閉じているアーベルカテゴリの加法的な完全なサブカテゴリとします。 Cに正確なシーケンスがある場合、 M′からの矢印は許容モノと呼ばれ、 Mからの矢印は許容エピと呼ばれます。 ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

QC をCと同じオブジェクトを持つカテゴリとし、XからYへの射を、最初の矢印が許容エピで 2 番目の矢印が許容モノであるような図の同型クラスとし、2 つの図が中間部分のみ異なり、その間に同型がある場合、それらの図は同型です。射の合成はプルバックによって与えられます。 ${\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}$

によって位相空間を定義します。ここで、はループ空間関数であり、はカテゴリQC (神経の幾何学的実現) の分類空間です。結局のところ、これはホモトピー同値まで一意に定義されます (したがって、表記法は正当化されます)。 ${\displaystyle B^{+}C}$${\displaystyle B^{+}C=\オメガ BQC}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle BQC}$

あらゆる環準同型はを誘導し、したがって はR上の有限生成射影加群のカテゴリです。この写像 (転送と呼ばれる) は、ミルノアの代数的 K 理論入門で定義されている写像と一致することが簡単に示せます。^{[2]この構成は、}環の懸架とも互換性があります(グレイソンを参照)。 ${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}$${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}$${\displaystyle P(R)}$

ダニエル・キレンの定理によれば、C が環R上の有限生成射影加群のカテゴリであるとき、はの古典的な意味でRのi番目の K 群である。定理の通常の証明 (Weibel 2013 参照) は、中間ホモトピー同値性に依存する。Sが対称モノイドカテゴリで、その中のすべての射が同型である場合、モノイドのグロタンディーク群構成を一般化するカテゴリが構築される (Grayson 参照)。C を、すべての正確なシーケンスが分割する正確なカテゴリ (たとえば有限生成射影加群のカテゴリ) とし、Cのサブカテゴリで、同じオブジェクトのクラスを持ち、射がCの同型であるものを置く。すると、「自然な」ホモトピー同値性が存在する: ^[3]${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$${\displaystyle i=0,1,2}$${\displaystyle S^{-1}S}$${\displaystyle S=\operatorname {iso} C}$

${\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}$。

同値性は次のように構築されます。Eを、そのオブジェクトがCの短完全列であり、その射がそれらの間の図式の同型類であるカテゴリとします。を、短完全列を列の第 3 項に送信する関数とします。サブカテゴリであるファイバー は、第 3 項がXである完全列 で構成されることに注意してください。これにより、 E は上でファイバー化されたカテゴリになります。についてと書くと、ホモトピー ファイバーへの明らかな (したがって自然な) 包含があり、これはホモトピー同値であることが示されます。一方、Quillen の定理 Bにより、に沿ったのホモトピー プルバックであり、したがって とホモトピー同値であることを示すことができます。 ${\displaystyle f:E\to QC}$${\displaystyle f^{-1}(X)}$ ${\displaystyle QC}$${\displaystyle S^{-1}f}$${\displaystyle S^{-1}E\to QC}$${\displaystyle \オメガBQC}$ ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$${\displaystyle B(S^{-1}S)}$${\displaystyle BS^{-1}f}$${\displaystyle *\to BQC}$${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$

ここで、C を環R上の有限生成射影加群のカテゴリとすると、 は に対して古典的な意味でRの であることがわかります。まず、定義により、 です。次に、は次のようになります。 ${\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2}$${\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}$${\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}$

${\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}$。

(ここで、はカテゴリ の分類空間か、タイプ のEilenberg–MacLane 空間のいずれかであり、同じものになります。) 画像は実際には の単位元成分にあるので、次の式が得られます。 ${\displaystyle BGL(R)}$${\displaystyle GL(R)}$${\displaystyle K(GL(R),1)}$${\displaystyle B(S^{-1}S)}$

${\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}$

を と同型なモジュールからなるSの完全なサブカテゴリとします(したがって、 はを含む連結成分です)。をR を含む成分とします。すると、Quillen の定理により、 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle BS_{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

したがって、左側のクラスは という形式になります。しかし、の作用によって誘導されます。したがって、 ${\displaystyle xe^{-n}}$${\displaystyle x\mapsto xe^{m}}$${\displaystyle R^{m}\in S}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

はH基なので、 ${\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}$

${\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

残っているのはです。ホモトピーファイバーについて書くと、長い正確な数列が得られます。 ${\displaystyle \pi _{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle Ff}$

${\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

ホモトピー理論から、2 番目の項が中心的であることがわかります。つまり、は中心拡大です。次の補題から、 は普遍中心拡大であることがわかります(つまり、はRのスタインバーグ群であり、核は です)。 ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}$${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$${\displaystyle K_{2}(R)}$

証明: f をYの普遍被覆に沿った引き戻しで置き換えても、のホモトピー型は変わりません。したがって、仮説をYが単連結で であるという仮説に置き換えることができます。ここで、および のセール スペクトル列は次のようになります。 ${\displaystyle Ff}$${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ ${\displaystyle \to Y}$${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}$${\displaystyle Ff\to X\to Y}$${\displaystyle *\to Y\to Y}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}$

スペクトル列の比較定理により、 、つまり は非巡回 であることがわかります。(偶然にも、議論を逆にすると、これは補題の仮説を意味すると言えます。) 次に、群による被覆のスペクトル列は、次のことを述べています。 ${\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}$${\displaystyle Ff}$${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}$ ${\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}$${\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

このスペクトルシーケンスを検査すると、望ましい結果が得られます。

• ダニエル・グレイソン、高等代数 K 理論 II [ダニエル・キレンに倣って]、1976 年
• Srinivas, V. (2008)、代数的K理論、Modern Birkhäuser Classics (1996 年第 2 版のペーパーバック復刻版)、ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser、ISBN 978-0-8176-4736-0、Zbl  1125.19300
• ワイベル、チャールズ(2013)、「K-ブック: 代数的 K-理論入門」