q-ワイブル分布

q-ワイブル分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle q<2}$ 形状（実数）レート（実数）形状（実数） ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \kappa >0\,}$
サポート	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!{\text{ }}q\geq 1 の場合}$ ${\displaystyle x\in [0;{\lambda \over {(1-q)^{1/\kappa }}}){\text{ }}q<1} の場合$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}^{-(x/\lambda )^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
平均	（記事参照）

統計学において、q-ワイブル分布は、ワイブル分布とロマックス分布（パレートタイプ II）を一般化した確率分布です。これは、Tsallis 分布の一例です。

q-ワイブル確率変数の確率密度関数は次の通りである: ^[1]

${\displaystyle f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\ラムダ }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0,\\0&x<0,\end{件}}}$

ここでq < 2, > 0は形状パラメータであり、λ > 0は分布の 尺度パラメータであり、${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ かつ }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ かつ }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}$

はq指数関数である^{[1] [2] [3]}

qワイブル確率変数の累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle \lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}}$

${\displaystyle q'={1 \over (2-q)}}$

q-ワイブル分布 の平均は

${\displaystyle \mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}}$

ここで、はベータ関数、はガンマ関数です。平均値の式は、それが有限である定義範囲にわたって qの連続関数です。${\displaystyle B()}$${\displaystyle \Gamma ()}$

qワイブル分布は、 q = 1の場合にはワイブル分布と等しく、 q指数分布は、${\displaystyle \kappa =1}$

q-ワイブル分布はワイブル分布を一般化したものであって、有限サポート（ q < 1）の場合にこの分布を拡張し、裾の重い分布 も含めます。 ${\displaystyle (q\geq 1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}})}$

q-ワイブル分布は、ロマックス分布（パレートタイプ II）の一般化であり、この分布を有限サポートの場合に拡張し、パラメータを追加します。ロマックスパラメータは次のとおりです。 ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}}~,~\lambda _{\text{Lomax}}={1 \over {\lambda (q-1)}}}$

ロマックス分布はパレート分布のシフト版であるため、 のqワイブルはパレートのシフトされた再パラメータ化された一般化です。q > 1 の場合、q指数は、サポートがゼロから始まるようにシフトされたパレートに相当します。 具体的には、次のようになります。 ${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle {\text{If }}X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Weibull} (q,\lambda ,\kappa =1){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={1 \over {\lambda (q-1)}},\alpha ={{2-q} \over {q-1}}\right)-x_{m}\right],{\text{ then }}X\sim Y\,}$

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