例による証明

論理学と数学において、例示による証明（不適切な一般化とも呼ばれる）とは、完全な証明ではなく、1つ以上の例や事例を通じて文の妥当性を説明する論理的誤謬である。^{[1] [2]}

例による証明の 構造、議論の形式、形式は、一般的に次のように進みます。

構造：

Xがそういうものだということはわかっています。

したがって、Xに関連するものはすべてこれに該当します。

議論形式:

グループXのメンバーであるxには、プロパティPがあることを知っています。

したがって、Xの他のすべての要素はPという性質を持つ必要がある。^[2]

正式形式:

${\displaystyle \exists x:P(x)\;\;\vdash \;\;\forall x:P(x)}$

次の例は、この推論がなぜ論理的誤りであるかを示しています。

誰かが人を射殺するのを見たことがあります。

したがって、すべての人間は殺人者です。

一般的な議論では、例による証明は、統計的に重要でない例を使用して主張を立証しようとする試みを説明するためにも使用されることがあります。その場合、各議論の価値は個別に評価する必要があるかもしれません。^[3]

特定の状況では、例が論理的に有効な証拠 として十分な場合があります。

いくつかのシナリオでは、例による議論は、単一の前提から実存的な結論に至る場合（つまり、すべてのケースではなく、少なくとも 1 つのケースで主張が真であることを証明する）に有効である可能性があります。例:

ソクラテスは賢い。

したがって、誰かが賢明です。

（または）

盗みを働く人を見たことがあります。

したがって、（一部の）人々は盗むことができます。

これらの例は、存在論的導入、あるいは特殊化または存在論的一般化としても知られる論理規則の非公式バージョンの概要を示しています。

実存的序論

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}$

(ここで、 は、内の変数のすべての自由な出現を に置き換えることによって形成される式を表します。) ${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \beta}$

同様に、反例を見つけることは普遍的な結論を反証する（否定を証明する）ことになります。これは背理法による証明で使用されます。

扱われる例がすべての可能性のあるケースを網羅している ことも実証されている場合、例は、洗練されていないとしても有効な証明を構成します。

数学において、例による証明は、主張の事例を証明することによって主張を説明しようとする試みを指すこともあります。これらの事例には、本格的な証明に一般化できる重要なアイデアが含まれているという理解のもとで行われます。^[4]

• 結論を肯定する
• 逸話的な証拠
• ベイズ確率
• 反例
• 手を振る
• 帰納的推論
  • 帰納法の問題
• モーダス・ポネンス
• 構成による証明
• 脅迫による証明

• ベンジャミン・マチュケ: 数学における例による有効な証明 (arXiv)