ポストニュートン膨張

一般相対性理論では、計量テンソルに対するアインシュタイン場方程式の近似解を求めるために、ポストニュートン展開（PN展開）が用いられます。この近似は、ニュートンの万有引力の法則からのずれの次数を表す小さなパラメータで展開されます。これにより、弱い場の場合にアインシュタイン方程式の近似解を求めることができます。精度を高めるために高次の項を追加することもできますが、強い場の場合は、完全な方程式を数値的に解く方が望ましい場合もあります。この方法は、有効場理論によく見られる特徴です。極限において、小さなパラメータが0に等しい場合、ポストニュートン展開はニュートンの万有引力の法則に帰着します。

ポストニュートン法では、低速の質量と弱い重力場の両方が必要となる。これらの条件は、一般相対性理論の太陽系におけるすべての検証において完全に満たされている。重力波を発生させる高速や、ブラックホールのペアのような連星コンパクト天体間の大きな重力場は、ポストニュートン展開では適切にモデル化できない。宇宙論モデルは異なる物理的仮定に基づいており、この近似法の恩恵を受けない。^{[ 2 ]： 86}

ポストニュートン近似は、重力場を生成する物質の速度と光速の比である小さなパラメータに関する展開であり、この場合、光速はより正確には重力速度と呼ばれます。^{[ 3 ]}重力の基本速度が無限大になる極限では、ポストニュートン展開はニュートンの万有引力の法則に帰着します。^{[ 4 ]}流体力学的近似におけるポストニュートン展開の体系的な研究は、1960年代にスブラマニヤン・チャンドラセカールとその同僚 によって開発されました。 ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

別のアプローチとしては、一般相対性理論の方程式を、重力がない場合の値からの計量の偏差に関するべき級数に展開する方法がある。

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

この目的のために、固有値が${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$すべて絶対値が1未満です。

例えば、線形化された重力から一歩進んで、 hの 2 次までの展開を得るとします。

${\displaystyle g^{\mu \nu }\おおよそ \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\デルタ \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

速度とは無関係に、計量のみに基づいて展開されるものは、ポストミンコフスキー展開（PM展開）と呼ばれます。

PN展開（一次まで）を初めて用いたのは、アルバート・アインシュタインが水星の軌道の近日点歳差運動を計算する際であった。今日では、アインシュタインの計算はPN展開の応用例として広く知られており、重力波の放出を含む一般相対性理論における二体問題の解決に用いられている。

一般に、摂動された計量は次のように書くことができる^{[ 11 ]}

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

どこ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B_{i}}$そして${\displaystyle h_{ij}}$空間と時間の関数である。${\displaystyle h_{ij}}$分解すると次のようになる

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\チルダ{E}}_{ij}}$

どこ${\displaystyle \Box }$はダランベール演算子です。${\displaystyle E}$スカラーです。${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$はベクトルであり、${\displaystyle {\チルダ {E}}_{ij}}$はトレースレステンソルである。すると、バーディーンポテンシャルは次のように定義される。

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(BE'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -CH(BE')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

どこ${\displaystyle H}$はハッブル定数であり、プライム記号は共形時間に関する微分を表す。${\displaystyle \tau \,}$。

取${\displaystyle B=E=0}$（つまり設定）${\displaystyle \Phi \equiv -C}$そして${\displaystyle \Psi \equiv A}$ニュートンゲージは

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$。

異方性応力がない場合、${\displaystyle \Phi =\Psi }$。

この非線形拡張の有用な例として、非相対論的重力場が挙げられる。

• 座標条件
• アインシュタイン・インフェルド・ホフマン方程式
• 線形化された重力
• パラメータ化されたポストニュートン形式

• A.アインシュタインとL.インフェルドによる「一般相対性理論における粒子の運動について」は、 2012年3月8日にウェイバックマシンにアーカイブされました。
• Clifford, M. Will (2011). "重力物理学におけるポストニュートン近似の不合理な有効性について" . PNAS . 108 (15): 5938– 5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 . PMC 3076827 . PMID 21447714 .