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幾何学において、ポンセレの閉包定理（ポンセレの多面体定理とも呼ばれる）は、多角形が1つの円錐曲線に内接し、別の円錐曲線に外接する場合、その多角形はすべて同じ2つの円錐曲線に内接し、かつ外接する多角形の無限族の一部でなければならないと述べている。[ 1 ] [ 2 ]この定理は、1822年にこの定理について記述したフランスのエンジニア兼数学者ジャン＝ヴィクトル・ポンセレにちなんで名付けられた。 [ 3 ]しかし、三角形の場合はそれよりかなり前の1746年にウィリアム・チャップルによって発見された。[ 4 ]
ポンセレットの多面性は、楕円曲線を用いた議論によって証明することができる。この楕円曲線の点は、一方の円錐曲線に接する直線と、その直線ともう一方の円錐曲線との交点の組み合わせを表す。
CとDを2つの平面円錐曲線とする。与えられたn > 2に対して、Cに内接し（つまり、すべての頂点がC上にある）、かつDに外接する（つまり、すべての辺がDに接する） n角形が1つ見つかるならば、そのような多角形は無限に存在する。CまたはDの各点は、それぞれそのような多角形の頂点または接点となる。
円錐曲線が円である場合、一方の円に内接し、他方の円に外接する多角形は二心多角形と呼ばれる。したがって、ポンセレットの多角形のこの特殊なケースは、すべての二心多角形が同じ2つの円に関して無限の二心多角形の族の一部であると述べることで、より簡潔に表現できる。[ 5 ]： p.94
CとDを複素射影平面P 2の曲線とみなします。簡単のため、CとDは横断的に交わると仮定します（つまり、2つの交点はすべて単純な交点です）。すると、ベズーの定理により、2つの曲線の交点C ∩ Dは4つの複素点から構成されます。D内の任意の点dに対して、ℓ dをdにおけるDの接線とします。C × Dの部分多様体Xを、 ℓ dがcを通るような( c , d )から構成します。cが与えられたとき、 ( c , d ) ∈ Xとなるdの数は、c ∈ C ∩ Dの場合は1、そうでない場合は2です。したがって、射影X → C ≃ P 1は、 Xを4点上で分岐した次数2の被覆として表すため、 Xは楕円曲線です（ X上の基点を固定すれば）。Xの対合は、一般的な ( c , d ) を同じ第 1 座標を持つもう 1 つの点 ( c , d ′) に写像する。固定点を持つ楕円曲線の任意の対合は、群法則で表すと、あるpに対してx → p − xの形になる。この形式をとる。同様に、射影X → Dは、 CとD の両方に接する 4 つの直線のD上の接点で分岐する次数 2 の射であり、対応する対合はあるqに対してx → q − xの形をとる。したがって、合成ははXの変換です。固定点を持つ場合、その冪は恒等関数でなければならない。CとDの言葉に言い換えると、これは、1 つの点c ∈ C (対応するdを備えている) が閉じる軌道 (つまりn角形を与える) を生み出す場合、すべての点も同様に閉じる軌道を生み出すことを意味する。CとD が横断的でない退化ケースは、極限論法から導かれる。
