ペトリネット

ペトリネットは、場所/遷移ネット( PT ネット)とも呼ばれ、分散システムを記述するための数学的 モデリング言語の 1 つです。離散イベント動的システムの一種です。ペトリネットは、場所と遷移という 2 種類の要素を持つ有向二部グラフです。場所要素は白い円で表され、遷移要素は長方形で表されます。場所には、黒い円で表されたトークンを任意の数だけ含めることができます。遷移は、入力として接続されているすべての場所に少なくとも 1 つのトークンが含まれている場合に有効になります。一部の情報源^{[1]によると、ペトリネットは 1939 年 8 月に 13 歳の}Carl Adam Petriによって化学プロセスを記述する目的で 発明されました。

UML アクティビティ図、ビジネス プロセス モデルと表記法、イベント駆動型プロセス チェーンなどの業界標準と同様に、ペトリ ネットは、選択、反復、同時実行を含む段階的なプロセスのグラフィカル表記法を提供します。これらの標準とは異なり、ペトリ ネットでは実行セマンティクスが正確に数学的に定義されており、プロセス分析のための十分に開発された数学理論があります^{[引用が必要]}。

このような構造の名前の由来となったドイツのコンピューター科学者カール・アダム・ペトリは、1962 年の博士論文「Kommunikation mit Automaten」でペトリ ネットを徹底的に分析しました。

ペトリ ネットは、場所、遷移、およびアークで構成されます。アークは場所から遷移へ、またはその逆方向に走り、場所間や遷移間で走ることはありません。アークが遷移に走る場所を遷移の入力場所と呼び、アークが遷移から走る場所を遷移の 出力場所と呼びます。

グラフィカルに言えば、ペトリ ネット内のプレースには、トークンと呼ばれる個別のマークが含まれます。プレース上のトークンの分布は、マーキングと呼ばれるネットの構成を表します。ペトリ ネット ダイアグラムに関する抽象的な意味では、ペトリ ネットの遷移は、有効になっている場合、つまりすべての入力プレースに十分なトークンがある場合に発生します。遷移が発生すると、必要な入力トークンが消費され、出力プレースにトークンが作成されます。発生はアトミック、つまり単一の中断不可能なステップです。

実行ポリシー(例: 遷移の厳密な順序付け、優先順位の記述) が定義されていない限り、ペトリ ネットの実行は非決定的になります。つまり、複数の遷移が同時に有効になっている場合、それらの遷移は任意の順序で実行されます。

発火は非決定的であり、複数のトークンがネット内のどこにでも（同じ場所であっても）存在する可能性があるため、ペトリ ネットは分散システムの同時動作をモデル化するのに適しています。

ペトリネットは、基本ネットと呼ばれるネットのクラスを拡張した状態遷移システムです。 ^[2]

定義1. ネットとは、 ${\displaystyle N=(P,T,F)}$

1. PとT はそれぞれ、場所と遷移の互いに素な有限集合です。
2. ${\displaystyle F\subseteq (P\times T)\cup (T\times P)}$（有向）弧（またはフロー関係）の集合です。

定義2.ネットN = ( P , T , F )が与えられたとき、構成はC ⊆ Pとなる集合Cである。

定義3.基本ネットとは、 EN = ( N , C ) の形のネットである。ここで、

1. N = ( P , T , F ) はネットです。
2. C は、 C ⊆ Pが構成となるようなものである。

定義4.ペトリネットはPN = ( N , M , W )の形式のネットであり、基本ネットを次のように拡張したものである。

1. N = ( P , T , F ) はネットです。
2. M : P → Zは場所多重集合であり、 Zは可算集合です。Mは構成の概念を拡張し、通常はペトリネット図を参照してマーキングとして記述されます。
3. W : F → Zは弧多重集合なので、各弧のカウント（または重み）は弧の多重度の尺度となります。

ペトリネットが基本ネットと同等である場合、Z は可算集合 {0,1} となり、Mのもとで 1 にマップされるP内の要素は構成を形成します。同様に、ペトリネットが基本ネットでない場合、多重集合M は非単一構成集合を表すものとして解釈できます。この点で、M は基本ネットの構成の概念をペトリネットに拡張します。

ペトリネットの図（右上の図を参照）では、場所は通常円で表され、遷移は細長い長方形で表され、円弧は場所から遷移への接続、または遷移から場所への接続を示す一方通行の矢印として表されます。この図が基本ネットの場合、構成内の場所は通常円で表され、各円はトークンと呼ばれる 1 つの点を囲みます。このペトリネットの図（右を参照）では、場所の円は複数のトークンを囲み、構成内で場所が出現する回数を示す場合があります。ペトリネット図全体に分散されたトークンの構成はマーキングと呼ばれます。

上の図 (右を参照) では、場所p _1は遷移tの入力場所であり、場所p ₂は同じ遷移の出力場所です。PN _{0 (上の図) をマーキングが}M ₀に設定されたペトリ ネット、PN _{1 (下の図) をマーキングが}M ₁に設定されたペトリ ネットとします。PN ₀の構成では、すべての入力場所に、 t へのそれぞれのアークの多重度と「等しいかそれより大きい」十分な数のトークン (図ではドットで表示)があるという特性によって、遷移tが有効になります。遷移が有効になると、一度だけ遷移が実行されます。この例では、遷移tの実行によって、 M ₀のイメージにマーキングがM ₁に設定されたマップが生成され、下の図に示すペトリ ネットPN ₁が生成されます。この図では、遷移の発火規則は、それぞれの入力アークの多重度に等しい数のトークンを入力場所から減算し、それぞれの出力アークの多重度に等しい数の新しいトークンを出力場所に蓄積することによって特徴付けることができます。

注1.「等しいかそれ以上」の正確な意味は、発火規則でZに適用されている加算の正確な代数的性質に依存します。代数的性質の微妙な変化によって、代数ペトリネットなどの他のクラスのペトリネットが発生する可能性があります。^[3]

以下の正式な定義は、(Peterson 1981) に大まかに基づいています。代替の定義も多数存在します。

ペトリネットグラフ（ペトリネットと呼ばれることもありますが、下記参照）は3組のグラフ で、 ${\displaystyle (S,T,W)}$

• Sは場所の有限集合である
• Tは遷移の有限集合である
• SとTは互いに素である。つまり、場所と遷移の両方となるオブジェクトは存在しない。
• ${\displaystyle W:(S\times T)\cup (T\times S)\to \mathbb {N} }$は弧の多重集合です。つまり、各弧に負でない整数の弧多重度（または重み）を割り当てます。弧は 2 つの場所または 2 つの遷移を接続することはできないことに注意してください。

フロー関係は弧の集合です: 。多くの教科書では、弧の多重度は 1 のみです。これらの教科書では、ペトリ ネットをWではなくF を使用して定義することがよくあります。この規則を使用すると、ペトリ ネット グラフは、ノード パーティションSとT を持つ2 部有向グラフになります。 ${\displaystyle F=\{(x,y)\mid W(x,y)>0\}}$ ${\displaystyle (S\cup T,F)}$

遷移tのプリセットは、その入力場所の集合:です。ポストセットは、その出力場所の集合:です。場所のプレセットとポストセットの定義は類似しています。 ${\displaystyle {}^{\bullet }t=\{s\in S\mid W(s,t)>0\}}$${\displaystyle t^{\bullet }=\{s\in S\mid W(t,s)>0\}}$

ペトリネット（グラフ）のマーキングは、その場所の多重集合、つまりマッピングです。マーキングによって各場所にいくつかのトークンが割り当てられると言います。 ${\displaystyle M:S\to \mathbb {N} }$

ペトリネット（一部ではマークペトリネットとも呼ばれる）は4要素の組であり、 ${\displaystyle (S,T,W,M_{0})}$

• ${\displaystyle (S,T,W)}$ペトリネットグラフです。
• ${\displaystyle M_{0}}$は、ペトリネットグラフのマーキングである初期マーキングです。

言葉で言うと

• マーキングMで遷移tを発動すると、各入力場所sからトークンが消費され、各出力場所sにトークンが生成されます。${\displaystyle W(s,t)}$${\displaystyle W(t,s)}$
• Mでは、消費が可能なだけのトークンが入力場所に存在する場合、つまり の場合にのみ遷移が有効になります( が発火することもあります) 。${\displaystyle \forall s:M(s)\geq W(s,t)}$

私たちが一般的に興味を持っているのは、遷移が任意の順序で継続的に発生する場合に何が起こるかということです。

マーキングM' が マーキングMから1 ステップで到達可能であるとは、のときである。また、 がの反射推移閉包である場合、つまり 0 ステップ以上で到達可能であるとき、マーキングMから到達可能であるとされる。 ${\displaystyle M{\underset {G}{\longrightarrow }}M'}$${\displaystyle M{\overset {*}{\underset {G}{\longrightarrow }}}M'}$${\displaystyle {\overset {*}{\underset {G}{\longrightarrow }}}}$${\displaystyle {\underset {G}{\longrightarrow }}}$

（マークされた）ペトリネットの場合、最初のマークから実行できる発火に興味があります。その到達可能なマークの集合は、集合 ${\displaystyle N=(S,T,W,M_{0})}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle R(N)\ {\stackrel {D}{=}}\ \left\{M'{\Bigg |}M_{0}{\xrightarrow[{(S,T,W)}]{*}}M'\right\}}$

Nの到達可能性グラフは、その到達可能なマークに制限された遷移関係です。これはネットの 状態空間です。${\displaystyle {\underset {G}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle R(N)}$

グラフGと初期マーキングを持つペトリネットの発火シーケンスは、となる遷移のシーケンスです。発火シーケンスの集合は と表されます。 ${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\langle t_{1}\cdots t_{n}\rangle }$${\displaystyle M_{0}{\underset {G,t_{1}}{\longrightarrow }}M_{1}\wedge \cdots \wedge M_{n-1}{\underset {G,t_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}}$${\displaystyle L(N)}$

一般的なバリエーションは、アークの多重度を許可せず、アークのバッグW をフロー関係、と呼ばれる単純なセットに置き換えることです。両方が互いを表現できるため、 表現力が制限されることはありません。${\displaystyle F\subseteq (S\times T)\cup (T\times S)}$

もう一つの一般的なバリエーションは、例えばDeselとJuhás(2001) ^{[4]で見られるように、場所に対して}容量を定義できるようにすることである。これについては、以下の拡張で議論される。

ペトリネットのマーキングは、長さ の非負整数のベクトルとみなすことができます。 ${\displaystyle (S,T,W,M_{0})}$${\displaystyle |S|}$

その遷移関係は、行列のペアとして記述できます。 ${\displaystyle |S|}$${\displaystyle |T|}$

• ${\displaystyle W^{-}}$、定義${\displaystyle \forall s,t:W^{-}[s,t]=W(s,t)}$
• ${\displaystyle W^{+}}$、定義${\displaystyle \forall s,t:W^{+}[s,t]=W(t,s).}$

そして彼らの違いは

• ${\displaystyle W^{T}=-W^{-}+W^{+}}$

は、到達可能なマークを行列の乗算で記述するのに次のように使用できます。任意の遷移のシーケンスwに対して、すべての遷移をw内の発生回数にマップするベクトルを と書きます。すると、 ${\displaystyle o(w)}$

• ${\displaystyle R(N)=\{M\mid \exists w:\ w{\text{ is a firing sequence of }}N\ {\text{ and }}\ M=M_{0}+W^{T}\cdot o(w)\}}$。

w は発火シーケンスである必要があります。任意の遷移シーケンスを許可すると、通常はより大きなセットが生成されます。

$${\displaystyle W^{-}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&1&0\\p2&0&1\\p3&0&1\\p4&0&0\end{bmatrix}},\ W^{+}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&0&1\\p2&1&0\\p3&1&0\\p4&0&1\end{bmatrix}},\ W^{T}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&-1&1\\p2&1&-1\\p3&1&-1\\p4&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle M_{0}={\begin{bmatrix}1&0&2&1\end{bmatrix}}}$$

メセゲールとモンタナリは、ペトリ圏として知られる対称モノイド圏の一種を考察した。^[5]

ペトリ ネットが興味深いのは、モデリング能力と分析可能性のバランスが取れていることです。並行システムについて知りたいことの多くは、ペトリ ネットでは自動的に判断できますが、一般的なケースでは判断に非常にコストがかかるものもあります。並行システムの興味深いクラスをモデル化できるペトリ ネットのサブクラスがいくつか研究され、これらの判断はより簡単になっています。

このような決定問題の概要と、ペトリネットといくつかのサブクラスの決定可能性と複雑性の結果は、EsparzaとNielsen（1995）に記載されています。^[6]

ペトリ ネットの到達可能性問題は、ペトリ ネットNとマーキングMが与えられた場合に、 かどうかを判断することです。 ${\displaystyle M\in R(N)}$

これは、要求されたマークに到達するか、またはそれが見つからなくなるまで、上で定義した到達可能性グラフをたどる問題です。これは、一見するよりも困難です。到達可能性グラフは一般に無限であり、いつ停止しても安全かを判断するのは簡単ではありません。

実際、この問題は、決定可能であることが示される何年も前に、EXPSPACE困難であることが示されていました^{[7] (Mayr、1981)。これを効率的に行う方法に関する論文は、引き続き発表されています。 [8]} 2018年に、Czerwińskiらは下限を改善し、この問題が初歩的ではないことを示しました。^[9] 2021年に、この問題は、Jerome Leroux ^[10] とWojciech CzerwińskiおよびŁukasz Orlikowskiによって独立に、非原始再帰的であることが示されました。 ^[11]これらの結果により、長年の複雑性のギャップが解消されました。

到達可能性は誤った状態を見つけるのに良いツールのように思えますが、実際の問題では、構築されたグラフには通常、計算するべき状態が多すぎます。この問題を軽減するために、通常、線形時相論理はタブロー法と組み合わせて使用​​され、そのような状態に到達できないことが証明されます。線形時相論理は、状態に到達するために必要な一連の条件を見つけ、それらの条件が満たされないことを証明することで、実際に状態に到達できるかどうかを判定するために半決定手法を使用します。

ペトリネットは、異なる活性度を持つものとして説明することができます。ペトリネットが-活性と呼ばれるのは、その遷移がすべて-活性である場合のみです。この場合、遷移は ${\displaystyle L_{1}-L_{4}}$${\displaystyle (N,M_{0})}$${\displaystyle L_{k}}$${\displaystyle L_{k}}$

• デッド、つまり、発射できない、つまり、発射シーケンスに含まれていない場合${\displaystyle L(N,M_{0})}$
• ${\displaystyle L_{1}}$- 発火する可能性がある（潜在的に発火する可能性がある）、つまり、何らかの発火シーケンスにある場合のみ${\displaystyle L(N,M_{0})}$
• ${\displaystyle L_{2}}$任意の頻度で発火できる場合、すなわち、任意の正の整数kに対して、少なくともk回、ある発火シーケンスで発生する場合、${\displaystyle L(N,M_{0})}$
• ${\displaystyle L_{3}}$-発火が無限に繰り返される場合、つまり、任意の正の整数kに対して遷移が少なくともk回発生する固定された（必然的に無限の）発火シーケンスがある場合、${\displaystyle L_{3}}$
• ${\displaystyle L_{4}}$-live ( live ) 常に発火する可能性がある、つまり、到達可能なすべてのマーキングで -liveである${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle R(N,M_{0})}$

これらはますます厳しい要件であることに注意してください: -liveness は-liveness を意味します。 ${\displaystyle L_{j+1}}$${\displaystyle L_{j}}$${\textstyle \textstyle {j\in {1,2,3}}}$

^{これらの定義は村田の概要[12]}に準拠しており、村田の概要ではさらに「-live」を「dead」の用語として使用しています。 ${\displaystyle L_{0}}$

ペトリ ネット内の場所は、初期マーキングを含むすべての到達可能なマーキングにk を超えるトークンが含まれていない場合、 k 境界と呼ばれます。1境界である場合は安全であると言われます。あるkに対してk 境界である場合は、境界があります。

(マークされた) ペトリ ネットは、そのすべての場所がk境界、安全、または境界付きである場合と呼ばれます。ペトリ ネット (グラフ) は、すべての可能な初期マークに対して境界付きである場合、 (構造的に) 境界付きであると呼ばれます。

ペトリ ネットは、その到達可能性グラフが有限である場合にのみ、有界になります。

有界性は、 Karp -Miller Treeを構築して、被覆を調べることで決定できます。

特定のネット内の場所に明示的に制限を課すことは有用です。これは、制限されたシステム リソースをモデル化するために使用できます。

ペトリネットのいくつかの定義では、これを構文上の特徴として明示的に許可しています。^[13] 正式には、場所容量を持つペトリネットはタプル として定義できます。ここで、はペトリネット、（一部またはすべての）場所への容量の割り当てであり、遷移関係は、容量を持つ各場所に最大でその数のトークンがあるというマークに制限される通常の関係です。 ${\displaystyle (S,T,W,C,M_{0})}$${\displaystyle (S,T,W,M_{0})}$${\displaystyle C:P\rightarrow \!\!\!\shortmid \mathbb {N} }$

たとえば、ネットNの両方の場所に容量 2 が割り当てられている場合、場所容量がN2であるペトリ ネットが得られ、その到達可能性グラフが右側に表示されます。

あるいは、ネットを拡張することで、場所を境界付きにすることができます。正確には、場所の流れと反対の流れを持つ「カウンター場所」を追加し、両方の場所の合計がk になるようにトークンを追加することで、場所をk境界付きにすることができます。

離散イベントだけでなく、連続プロセスやハイブリッド離散連続プロセス用のペトリネット^{[14]もあり、離散、連続、ハイブリッド}制御理論^[15]に役立ち、離散、連続、ハイブリッドオートマトンに関連しています。

ペトリネットには多くの拡張機能があります。それらのいくつかは元のペトリネットと完全に下位互換性があり（例：カラーペトリネット）、いくつかは元のペトリネット形式ではモデル化できない特性を追加します（例：時間付きペトリネット）。下位互換性のあるモデルはペトリネットの計算能力を拡張しませんが、より簡潔な表現を持ち、モデル化に便利な場合があります。^[16]ペトリネットに変換できない拡張機能は時には非常に強力ですが、通常のペトリネットを分析するために利用できる数学的ツールの完全な範囲が欠けているのが普通です。

高レベル ペトリ ネットという用語は、基本的な P/T ネット形式を拡張する多くのペトリ ネット形式に使用されます。これには、カラー ペトリ ネット、ネット内のネットなどの階層型ペトリ ネット、およびこのセクションで概説するその他すべての拡張が含まれます。この用語は、 CPN ツールでサポートされているカラー ネットの種類にも特に使用されます。

可能な拡張機能の短いリストは次のとおりです。

• その他のアークの種類。一般的な2つの種類は次のとおりです。
  • リセットアークは発火に前提条件を課さず、遷移が発火するとその場所を空にする。これにより到達可能性は決定不可能となるが^[17] 、終了性などの他のいくつかの特性は決定可能のままである^[18]。
  • 抑制アークは、遷移が場所が空の場合にのみ発火するという前提条件を課す。これにより、トークンの数に関する任意の計算を表現できるようになり、形式論はチューリング完全となり、普遍的なネットの存在が示唆される。^[19]
• 標準的なペトリネットでは、トークンは区別できません。カラーペトリネットでは、すべてのトークンに値があります。^[20] CPN Tools などのカラーペトリネット用の一般的なツールでは、トークンの値が型付けされており、（ガード式を使用して）テストしたり、関数型プログラミング言語で操作したりできます。カラーペトリネットの派生として、整形式ペトリネットがあります。整形式ペトリネットでは、アークとガード式が制限されているため、ネットの分析が容易になります。
• ペトリネットのもう一つの一般的な拡張は階層です。これは、洗練と抽象化のレベルをサポートするさまざまなビューの形で、フェーリングによって研究されました。階層の別の形式は、いわゆるオブジェクトペトリネットまたはオブジェクトシステムで見られます。ペトリネットは、トークンとしてペトリネットを含むことができ、異なるレベルでの遷移の同期によって通信するネストされたペトリネットの階層を誘導します。オブジェクトペトリネットの非公式な紹介については、^{[21]を参照してください。}
• 状態付きベクトル加算システム (VASS) は、ペトリ ネットと同等の形式です。ただし、表面的にはペトリ ネットの一般化と見なすことができます。各遷移がペトリ ネットからの遷移によってラベル付けされている有限状態オートマトンを考えてみましょう。ペトリ ネットは有限状態オートマトンと同期されます。つまり、オートマトン内の遷移は、ペトリ ネット内の対応する遷移と同時に実行されます。ペトリ ネット内の対応する遷移が有効になっている場合にのみ、オートマトン内で遷移を実行できます。また、ペトリ ネット内で遷移を開始できるのは、ラベル付けされたオートマトン内の現在の状態からの遷移がある場合のみです。(VASS の定義は通常、少し異なる方法で定式化されます。)
• 優先順位付きペトリネットは、遷移に優先順位を追加します。これにより、より優先順位の高い遷移が有効になっている (つまり、発動できる) 場合、遷移は発動できません。したがって、遷移は優先順位グループに分かれており、たとえば、優先順位グループ 3 は、グループ 1 と 2 のすべての遷移が無効になっている場合にのみ発動できます。優先順位グループ内では、発動は依然として非決定的です。
• 非決定論的特性は、ユーザーが多数の特性を抽象化できるようにするため、非常に価値のある特性です (ネットの用途によって異なります)。ただし、場合によっては、モデルの構造だけでなくタイミングもモデル化する必要が生じます。このような場合に備えて、時間指定のペトリ ネットが開発されました。時間指定の遷移と時間指定のない遷移 (ある場合、時間指定のない遷移は時間指定のある遷移よりも優先されます) があります。時間指定のペトリ ネットの派生として、遷移の調整可能なランダム性によって非決定論的な時間を追加する確率的ペトリ ネットがあります。通常、これらのネットの「時間指定」には指数ランダム分布が使用されます。この場合、ネットの到達可能性グラフは、連続時間マルコフ連鎖(CTMC)として使用できます。
• 二元的ペトリネット(dP-Net) は、E. Dawis ら^[22]が現実世界のプロセスをより適切に表現するために開発したペトリネットの拡張です。dP-Net は、変化/無変化、動作/受動性、(変換の) 時間/空間などの二元性を、変換と場所という二部構成のペトリネット構成要素間でバランスを取り、変換マーキングのユニークな特性を生み出します。つまり、変換が「動作」しているときにマークされます。これにより、変換を複数回実行 (またはマーク) して、プロセス スループットの現実世界の挙動を表現することができます。変換のマーキングでは、変換時間が 0 より大きいことを前提としています。多くの一般的なペトリネットで使用される 0 の変換時間は、数学的には魅力的ですが、現実世界のプロセスを表現するには非現実的です。dP-Net は、ペトリネットの階層的抽象化の力を活用してプロセス アーキテクチャを表現します。複雑なプロセスシステムは、さまざまなレベルの階層的抽象化を介して相互接続された一連のより単純なネットとしてモデル化されます。パケットスイッチのプロセスアーキテクチャは、^[23]で実証されており、ここでは開発要件が設計されたシステムの構造を中心に編成されています。

ペトリ ネットにはさらに多くの拡張機能がありますが、拡張されたプロパティの点でネットの複雑さが増すにつれて、標準ツールを使用してネットの特定のプロパティを評価することが難しくなることに注意してください。このため、特定のモデリング タスクに対して可能な限り最も単純なネット タイプを使用することをお勧めします。

ペトリ ネットの形式を拡張する代わりに、それを制限し、特定の方法で構文を制限することによって得られる特定の種類のペトリ ネットを検討することもできます。通常のペトリ ネットは、すべての弧の重みが 1 であるネットです。さらに制限すると、次の種類の通常のペトリ ネットが一般的に使用され、研究されています。

1. ステートマシン（SM）では、すべての遷移には1つの入力アークと1つの出力アークがあり、すべてのマーキングには1つのトークンがあります。その結果、同時実行は不可能ですが、競合（つまり非決定性）は発生する可能性があります。数学的には、${\displaystyle \forall t\in T:|t^{\bullet }|=|{}^{\bullet }t|=1}$
2. マークグラフ（MG）では、すべての場所に1つの入ってくる弧と1つの出ていく弧があります。これは、競合は起こり得ないが、同時性は起こり得ることを意味します。数学的には、${\displaystyle \forall s\in S:|s^{\bullet }|=|{}^{\bullet }s|=1}$
3. 自由選択ネット（FC）では、ある場所から遷移へのすべての弧は、その場所からの唯一の弧か、その遷移への唯一の弧のいずれかである。つまり、同時性と競合の両方が存在する可能性があるが、同時には存在しない。数学的には、${\displaystyle \forall s\in S:(|s^{\bullet }|\leq 1)\vee ({}^{\bullet }(s^{\bullet })=\{s\})}$
4. 拡張自由選択 (EFC) – FC に変換できるペトリネット。
5. 非対称選択ネット（AC）では、同時性と衝突（つまり混乱）が発生する可能性があるが、対称的ではない：数学的には、${\displaystyle \forall s_{1},s_{2}\in S:(s_{1}{}^{\bullet }\cap s_{2}{}^{\bullet }\neq \emptyset )\to [(s_{1}{}^{\bullet }\subseteq s_{2}{}^{\bullet })\vee (s_{2}{}^{\bullet }\subseteq s_{1}{}^{\bullet })]}$

ワークフローネット（WFネット）は、プロセスアクティビティのワークフローをモデル化するペトリネットのサブクラスです。 ^[24] WFネットの遷移はタスクまたはアクティビティに割り当てられ、場所は事前/事後条件に割り当てられます。WFネットには追加の構造的および操作上の要件があり、主に、以前の遷移のない単一の入力（ソース）場所と、後続の遷移のない出力場所（シンク）が追加されています。したがって、プロセスの状態を表す開始マークと終了マークを定義できます。

WFネットには健全性特性があり、^[24]ソースプレースにkトークンの開始マークがあるプロセスは、シンクプレースにkトークンのマークがある終了状態に到達できることを示しています（ k-健全WFネットとして定義されます）。さらに、プロセス内のすべての遷移が発火する可能性があります（つまり、各遷移には、遷移が有効になっている到達可能な状態があります）。一般的な健全（G-健全）WFネットは、すべてのk > 0に対してk-健全であると定義されます。 ^[25]

ペトリ ネットの有向パスは、有向アークによってリンクされたノード (場所と遷移) のシーケンスとして定義されます。基本パスには、シーケンス内のすべてのノードが 1 回だけ含まれます。

適切に処理されたペトリネットとは、場所と遷移（または遷移と場所）の間に完全に異なる基本パスが存在しないネットのことである。つまり、ノードのペア間に2つのパスがある場合、これらのパスはノードを共有する。適切に処理された非巡回WFネットは健全である（Gサウンド）。^[26]

拡張WFネットは、WFネットに遷移t（フィードバック遷移）を追加したペトリネットである。シンクプレイスは遷移tの入力プレイスとして接続され、ソースプレイスは出力プレイスとして接続される。遷移の発火はプロセスの反復を引き起こす（拡張WFネットはWFネットではないことに注意）。^[24]

WRI (Well-handled with Regular Iteration) WF-netは、拡張された非巡回的なwell-handled WF-netです。WRI-WF-netはネットの合成として構築できます。つまり、WRI-WF-net内の遷移をWRI-WF-netであるサブネットに置き換えます。結果もWRI-WF-netです。WRI-WF-netはGサウンドであるため、^[26] WRI-WF-netのビルディングブロックのみを使用することで、構築によってGサウンドとなるWF-netを取得できます。

設計構造マトリックス(DSM) はプロセス関係をモデル化し、プロセス計画に利用できます。DSMネットは、 DSM ベースの計画をペトリ ネットによってワークフロー プロセスに実現したもので、WRI-WF ネットと同等です。DSM ネット構築プロセスは、結果として得られるネットの健全性プロパティを保証します。

並行計算をモデル化する他の方法としては、ベクトル加算システム、通信有限状態機械、カーン過程ネットワーク、プロセス代数、アクターモデル、トレース理論などが提案されている。^{[27]異なるモデルは、}構成性、モジュール性、局所性 などの概念のトレードオフを提供する。

これらの並行性モデルのいくつかを関連付けるアプローチは、WinskelとNielsenの章で提案されています。^[28]

• ブール微分積分^[29]
• ビジネスプロセスモデリング^{[30] [31]}
• 計算生物学^{[32] [33]}
• 並行プログラミング^[34]
• 制御工学^{[15] [35] [36]}
• データ分析^[37]
• 診断（人工知能）^[38]
• 離散プロセス制御^{[39] [40] [41]}
• ゲーム理論^[42]
• ハードウェア設計^{[43] [44] [45]}
• カーン過程ネットワーク^[46]
• プロセスモデリング^{[47] [48] [49]}
• 信頼性工学^{[50] [51]}
• シミュレーション^[30]
• ソフトウェア設計^[14]
• ワークフロー管理システム^{[52] [48] [49]}

• 有限状態機械
• 機械学習
• ペトリネットマークアップ言語
• ペトリスクリプト
• プロセスアーキテクチャ
• ペトリネットのスライス
• ベクトル加算システム

ウィキメディア・コモンズには、ペトリネットに関連するメディアがあります。

• カルドーソ、ジャネット。カマルゴ、エロイザ (1999)。ペトリ ネットのあいまいさ。フィジカ・フェルラグ。ISBN 978-3-7908-1158-2。
• Chiachio, Manuel; Chiachio, Juan; Presscott, Darren; Andrews, John (2018). 「「Plausible Petri nets」による不確実な知識表現の新しいパラダイム」. Information Sciences . 453 (2018年7月): 323–345. doi : 10.1016/j.ins.2018.04.029 .
• Grobelna, Iwona (2011). 「時相論理におけるコンピュータ演繹による組み込みロジックコントローラ仕様の形式検証」. Przegląd Elektrotechniczny . 87 (12a): 47–50.
• ジェンセン、カート (1997)。着色されたペトリネット。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-62867-5。
• パタリツァ、アンドラス (2004)。Formális modszerek az informatikában (情報学における形式的手法)。 TYPOTEX キアド。ISBN 978-963-9548-08-4。
• Peterson, James Lyle (1977). 「ペトリネット」. ACM Computing Surveys . 9 (3): 223–252. doi :10.1145/356698.356702. hdl : 10338.dmlcz/135597 . S2CID  3605804.
• ピーターソン、ジェームズ・ライル（1981年）。 『ペトリネット理論とシステムのモデリング』プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-661983-3。
• ペトリ、カール・アダム (1962)。自動化によるコミュニケーション(博士論文)。ボン大学。
• ペトリ、カール・アダム。ライシヒ、ヴォルフガング (2008)。 「ペトリネット」。スカラーペディア。3 (4): 6477。書誌コード:2008SchpJ...3.6477P。土井：10.4249/scholarpedia.6477。
• ライシヒ、ヴォルフガング (1992)。ペトリネット設計の入門書。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-52044-3。
• リーマン、ロバート・クリストフ (1999)。並行システムのモデリング: 高レベルペトリネット計算における構造的および意味的手法。Herbert Utz Verlag。ISBN 978-3-89675-629-9。
• Störrle, Harald (2000)。ソフトウェアアーキテクチャのモデル - UML と Petri-Net による設計と分析。Books on Demand。ISBN 978-3-8311-1330-9。
• Zaitsev, Dmitry (2013)。Clans of Petri Nets: プロトコルの検証とネットワークのパフォーマンス評価。LAP LAMBERT Academic Publishing。ISBN 978-3-659-42228-7。
• Zhou, Mengchu ; Dicesare, Frank (1993)。製造システムの離散イベント制御のためのペトリネット合成。Kluwer Academic Publishers。ISBN 978-0-7923-9289-7。
• Zhou, Mengchu ; Venkatesh, Kurapati (1998)。柔軟な製造システムのモデリング、シミュレーション、制御: ペトリネットアプローチ。World Scientific Publishing。ISBN 978-981-02-3029-6。
• Xue-Guo, Xu (2019). 「相反する意見を考慮した知識表現と獲得のための画像ファジーペトリネット」.応用科学. 9 (5): 983. doi : 10.3390/app9050983 .