季節性

時系列データにおいて、季節性とは、週、月、四半期など、1年未満の特定の規則的な間隔で発生する傾向を指します。季節性は、天候、休暇、祝日などのさまざまな要因によって引き起こされる可能性があり^{[ 3 ] 、時系列のレベル[ 4 ]}における周期的で反復的、一般的に規則的で予測可能なパターンで構成されます。

時系列における季節変動は、周期的なパターンとは対照的である。後者は、データが一定の周期ではない上昇と下降を示す場合に発生する。このような非季節的な変動は通常、経済状況によるものであり、「景気循環」と関連していることが多い。その周期は通常1年以上であり、変動は通常少なくとも2年間である。^{[ 5 ]}

アイスクリーム販売業者など季節変動に直面する組織は、通常の季節変動に対する自社の業績を知ることに関心を持つことが多い。労働市場の季節変動は、学校を卒業した若者が就労市場に参入し、学校教育を終えて労働力に貢献しようとすることに起因する。こうした規則的な変化は、経済の根本的な状態によって生じる変動ほど雇用データを研究する人々の関心を引かない。彼らの焦点は、規則的な季節変動の影響にもかかわらず、労働力における失業率がどのように変化したかにある。^{[ 5 ]}

組織が将来の計画を立てる上で、市場における季節変動を特定し、測定することは不可欠です。これにより、製品やサービスの需要が一定期間にわたって変動する際に伴う労働力や在庫の一時的な増減に備えることができます。これには、事前に準備できる研修や定期メンテナンスなどが必要となる場合があります。これらの考慮事項に加え、組織は、通常の季節変動の範囲を超えて、実際に経験した変動が予想よりも大きかったのか小さかったのかを知る必要があります。

季節変動を研究する主な理由はいくつかあります。

• 季節変動の影響を説明することで、この要素が特定の系列に与える影響をより深く理解することができる。
• 季節パターンが特定された後、時系列データからそのパターンを除去し、周期変動や不規則変動などの他の要素の影響を分析するための手法を適用することができる。この季節効果の除去は、データの季節調整または季節除去と呼ばれる。
• 過去の季節変動のパターンを利用して、気候平年値などの将来の傾向の予測に貢献する。

季節性を検出するために、以下のグラフ表示手法を用いることができます。

• 実行シーケンスプロットは、しばしば季節性を示す。
• 季節ごとのプロットでは、各季節のデータが重ねて表示されます^{[ 7 ]}
• 季節サブシリーズプロットは、季節性を示すための特殊な手法です。
• 季節性を検出するために、季節サブシリーズプロットの代替として複数の箱ひげ図を使用することができます。
• 自己相関関数（ACF）プロットとスペクトルプロットは、季節性を特定するのに役立ちます。

規則的なデータ系列における周期性（季節性を含む）を見つけるための非常に良い方法は、まず全体的な傾向を取り除き、次に時間周期性を調べることです。^{[ 8 ]}

ランシーケンスプロットは、あらゆる時系列データの分析において推奨される最初のステップです。このプロットで季節性が示される場合もありますが、季節サブシリーズプロットまたはボックスプロットを使用すると、季節性がより明確に表示されます。季節サブシリーズプロットは、季節差（グループ間のパターン）とグループ内のパターンの両方を非常に分かりやすく示します。ボックスプロットは、季節差（グループ間のパターン）をかなりよく示しますが、グループ内のパターンは示しません。ただし、大規模なデータセットの場合、ボックスプロットは通常、季節サブシリーズプロットよりも読みやすいです。

季節プロット、季節サブシリーズプロット、およびボックスプロットはすべて、季節周期が既知であることを前提としています。ほとんどの場合、アナリストは実際にこれを知っています。たとえば、月次データの場合、1年は12か月なので周期は12です。ただし、周期が不明な場合は、自己相関プロットが役立ちます。有意な季節性がある場合、自己相関プロットは周期に等しいラグでスパイクを示すはずです。たとえば、月次データの場合、季節性効果がある場合、ラグ12、24、36などで有意なピークが見られると予想されます（ただし、ラグが遠くなるほど強度は低下する可能性があります）。

自己相関プロット（ACF）は、Y値とYのラグ値の差（残差）を計算することで、季節性を特定するために使用できます。結果として、2つの値が近い点（季節性がない）と、大きな差がある点が示されます。これらの点は、データの季節性のレベルを示します。

半規則的な周期変動は、スペクトル密度推定によって対処できる可能性がある。

季節変動は、季節指数と呼ばれる指標で測定されます。これは、実際の観測値を、季節変動がない場合の値と比較するために使用できる平均値です。1年内の時系列データの各期間に指数値が割り当てられます。つまり、月次データを考慮する場合、各月ごとに1つずつ、合計12個の季節指数が存在することになります。以下の方法は、季節指数を使用して時系列データの季節変動を測定します。

• 単純平均法
• トレンド比率法
• 移動平均比率法
• リンク関係法

時系列における完全に規則的な周期変動は、状況に応じて周期長が既知または未知の1つ以上の正弦波を用いた正弦波モデルを用いて時系列解析で扱うことができる。規則性が低い周期変動は、周期変動を半明示的に扱うように構成できるARIMAモデルの特殊な形式を用いて扱うことができる。このようなモデルは、周期定常過程を表す。

周期的な季節性をモデル化するもう一つの方法は、フーリエ項のペアを用いることです。正弦波モデルを用いる場合と同様に、回帰モデルにフーリエ項を追加すると、正弦項と余弦項を用いて季節性をシミュレートします。ただし、このような回帰における季節性は、正弦波モデルにおける単一の正弦項または余弦項ではなく、正弦項または余弦項の和として表されます。フーリエ項を取り入れることで、あらゆる周期関数を近似することができます。

正弦波モデルとフーリエ項を含む回帰モデルの違いは、以下のように簡略化できます。

正弦波モデル：

${\displaystyle Y_{i}=a+bt+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

フーリエ項を用いた回帰分析：

${\displaystyle Y_{i}=a+bt+(\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}\cdot \sin({\tfrac {2\pi kt}{m}})+\beta _{k}\cdot \cos({\tfrac {2\pi kt}{m}}))+E_{i}}$

季節調整または季節除去とは、時系列データから季節成分を除去するあらゆる方法を指します。季節調整されたデータは、例えば、季節周期よりもかなり長い期間にわたる非季節的な傾向を分析または報告する場合に使用されます。適切な季節調整方法は、時系列データを「傾向」、「周期性」、「季節性」、「不規則性」などの名称で指定される成分に分解する際の特定の見方、およびこれらの成分が互いにどのように相互作用するかに基づいて選択されます。例えば、これらの成分は加法的または乗法的に作用する可能性があります。したがって、季節成分が加法的に作用する場合、調整方法は2つの段階からなります。

• 時系列における季節変動成分を推定する。通常、時系列全体で平均がゼロとなる形式で推定する。
• 推定された季節成分を元の時系列から差し引くと、季節調整済みの時系列が得られます。${\displaystyle Y_{t}-S_{t}=T_{t}+E_{t}}$[ ^{5 ]​}

乗法モデルの場合、季節変動の大きさは水準によって変化し、これは経済系列でより起こりやすい。^{[ 5 ]}季節性を考慮すると、季節調整済み乗法分解は次のように表される。${\displaystyle Y_{t}/S_{t}=T_{t}*E_{t}}$（つまり、元の時系列データを推定された季節成分で割る。）

乗法モデルは、時系列データの対数を取ることで加法モデルに変換できる。

SA乗法分解：${\displaystyle Y_{t}=S_{t}*T_{t}*E_{t}}$

乗法モデルの時系列の対数を取る：${\displaystyle logY_{t}=logS_{t}+logT_{t}+logE_{t}}$^{[ 5 ]}

季節調整の具体的な実装例の一つとして、X-12-ARIMAが挙げられる。

最小二乗法などの回帰分析において、季節変動する従属変数が1つ以上の独立変数の影響を受ける場合、季節変動は、任意に選択された基準季節を除く各季節に対応するn -1個のダミー変数を含めることによって考慮および測定できます。ここで、 nは季節の数です（例えば、気象季節の場合は4、月の場合は12など）。各ダミー変数は、データポイントがそのダミー変数に指定された季節から抽出された場合は1に、それ以外の場合は0に設定されます。次に、基準季節の従属変数の予測値は、回帰の残りの部分から計算されます。その他の季節については、回帰の残りの部分を使用し、その季節のダミー変数に値1を挿入することによって計算されます。

季節パターンと関連パターンを区別することが重要です。季節パターンとは、時系列データが季節や時期（年間、半年、四半期など）の影響を受ける場合に発生するパターンです。一方、周期パターン、または単にサイクルとは、データが季節パターンよりもはるかに長い（例えば10年）またははるかに短い（例えば週単位）周期で上昇と下降を示す場合に発生します。準周期性とは、より一般的な不規則な周期性です。

• ボックス・ジェンキンス法
• 発振
• 周期関数
• 周期性（曖昧さ回避）
• 光周期性

• Franses, Philip Hans (1996).経済時系列における周期性と確率的傾向. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-877454-0。
• ギーセルズ、エリック；オズボーン、デニス・R. (2001).季節時系列の計量経済学的分析. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56588-X。
• ヒレベリ、スヴェンド（1986）。回帰分析における季節性。オーランド：アカデミック・プレス。ISBN 0-12-363455-5。
• ハインドマン、ロブ・J.、アサノプロス、ジョージ（2021）。予測：実践と原則（第3 版）。OTexts。ISBN 978-0-9875071-3-6。

• ウィキメディア・コモンズにある季節性に関するメディア
• NIST/SEMATECHの統計手法電子ハンドブックにおける季節性

 この記事は、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methodsからのパブリックドメイン資料を組み込んでいます。米国国立標準技術研究所。